向量丛的直和是向量丛类上的一种二元运算，是向量空间直和的自然推广。
假设 π : E → B , π ′ : E ′ → B {\displaystyle \pi: E \to B, \pi': E' \to B} 是底空间 B {\displaystyle B} 上的两个向量丛，那么它们的直和 E ⊕ E ′ {\displaystyle E\oplus E'} 是如下定义的集合 E ⊕ E ′ := { ( v , v ′ ) ∈ E × E ′ : π ( v ) = π ′ ( v ′ ) } . {\displaystyle E\oplus E':=\{(v,v')\in E\times E':\pi (v)=\pi '(v')\}.} 它是 E × E ′ {\displaystyle E\times E'} 的一个子集而不一定是 E × E ′ {\displaystyle E\times E'} 本身，这是因为要使得我们定义出的直和是一个向量丛，必须要求这个集合 E ⊕ E ′ {\displaystyle E\oplus E'} 满足上循环条件。
定义 ρ ( v , v ′ ) = π ( v ) , ρ − 1 ( b ) = E b × E b ′ {\displaystyle \rho (v,v')=\pi (v),\rho ^{-1}(b)=E_{b}\times E'_{b}} 是 E ⊕ E ′ {\displaystyle E\oplus E'} 上的纤维，而 g i j ⊕ g i j ′ {\displaystyle g_{ij}\oplus g_{ij}'} 是直和上的迁移函数。
这里线性映射作直和的定义是：假设 V , W , V ′ , W ′ {\displaystyle V,W,V',W'} 都是线性空间，且 f : V → V ′ , g : W → W ′ {\displaystyle f: V \to V', g: W \to W'} 是线性映射，那么 V ⊕ W {\displaystyle V\oplus W} 定义为 V , W {\displaystyle V, W} 的线性空间的直和，自然若将 V {\displaystyle V} 中的元素 v {\displaystyle v} 视为 ( v , 0 W ) {\displaystyle (v,0_{W})} 时存在自然嵌入 τ V : V → V ⊕ W . {\displaystyle \tau _{V}:V\to V\oplus W.} 那么我们可以定义线性映射的直和 f ⊕ g : V ⊕ W → V ′ ⊕ W ′ , ( v , w ) ↦ ( f ( v ) , g ( w ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}f\oplus g:V\oplus W&\to V'\oplus W',\\(v,w)&\mapsto (f(v),g(w)).\end{aligned}}} 而 ( f ⊕ g ) ( v + w ) = f ( v ) + g ( w ) . {\displaystyle (f\oplus g)(v+w)=f(v)+g(w).} 显然它是线性映射。
是底空间
上的两个向量丛，那么它们的直和
是如下定义的集合
它是
的一个子集而不一定是本身，这是因为要使得我们定义出的直和是一个向量丛，必须要求这个集合满足上循环条件。
是上的纤维，而
是直和上的迁移函数。
都是线性空间，且
是线性映射，那么
定义为
的线性空间的直和，自然若将
中的元素
视为
时存在自然嵌入
那么我们可以定义线性映射的直和
而
显然它是线性映射。
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