向量丛的后拉

向量丛的后拉（pull-back）是向量丛之间的换元变换。

定义

假设有底空间$A, B$及映射$f:A \to B$，另有一向量丛$\pi: E \to B$，我们要把$B$上的丛移植到$A$上，得到一个新丛$\overline{f}: f^*(E) \to A$，这里仅需要求存在丛映射$\overline{f}: E \to f^*(E)$使得它在每个纤维$E_{b}$上都是同构映射即可。这样就成立交换图 $$\pi \circ \overline{f} = f \circ \overline{\pi}.$$ 上述定义的丛$f^*(E) \subset A \times E$是通过下是定义的子集合 $$f^*(E) = \{ (a, u) \in A \times E : f(a) = \pi(u) \}.$$ 且 $$\overline{f}(a, u) = u, \quad \overline{\pi}(a, u) = a.$$

迁移函数

如果丛$E$有局部坐标表示$\{ (U_i, \varphi_i) \}_{i \in I}$，它的迁移函数是$\{ g_{ij} \}_{i,j \in I}$，那么$f^*(E)$存在局部坐标表示$\{ (\overline{U}_i, \overline{\varphi}_i) \}_{i \in I}$，其中$\overline{U}_i = f^{-1}(U_i)$且 $$\begin{align} \overline{\varphi}_i: \overline{U}_i \times \mathbb{K}^k & \to f^*(E), \\ (a, v) & \mapsto (a, \varphi_i(f(a), v)). \end{align}$$ $f^*(E)$上的迁移函数是$\overline{g}_{ij} = g_{ij} \circ f.$

等价性

下面我们将会看到，丛的后拉和同构丛映射是等价的：

假设有向量丛$\pi': E' \to A, \pi: E \to B$，那么$\overline{f}: E' \to E$是丛映射当且仅当$E'$在范畴$v(A)$中同构于某个映射$f:A \to B$诱导的丛$f^*(E).$