向量丛

向量丛是一个微分几何中的概念，特别地有一个流形的切丛和法丛。向量丛可以解释为某个上同调类。

概念

假设有一个点集$B$，另有域$\mathbb{K}$上的线性空间，如果存在映射$\pi: E \to B$使得对任意的$b\in B$，原象集$\pi^{-1}(b)$都是有限维（$k$维）的线性空间，我们就说$(E, \pi)$是一个向量丛，这里$k$可以是$b$的函数。

上述定义中如果$\mathbb{K} = \R, \C$，则分别称为实向量丛和复向量丛。上述定义的向量丛是十分一般的概念，有时会加入如下条件： 对任意一点$b\in B$都存在$b$中的一个邻域$U_b$以及一个局部同胚$\varphi: U_b \times \mathbb{K}^k \to \pi^{-1}(U_b)$且满足 $$\varphi \circ \pi = p_1.$$ 其中$p_1(b, v) = b$是投影。且 $$\begin{align} \varphi_b: \mathbb{K}^k & \to E_b := \pi^{-1}(b), \\ v & \mapsto \varphi(b, v) \end{align}$$ 是线性同构。

我们也称定义中的$E_{b}$是一个“纤维”（fibre）。

迁移函数

在底空间$B$上存在一族开覆盖$\mathcal{U} = \{ (U_i, \varphi_i) \}_{i \in I}$（其中的元素成为局部坐标），对于$b \in U_i \cap U_j$，如下定义的函数 $$\varphi_{ij}(b) := \varphi_{ib}^{-1} \circ \varphi_{jb}.$$ 是$\mathbb{K}^k$上的同构，我们称其为迁移函数。 局部来看，$b \in U_i \cap U_j$确定的迁移函数$\varphi_{ij}(b)$可以和$\mathbb{K}^k$上的一般线性群$\text{GL}(\mathbb{K}^k)$中的可逆矩阵建立一个对应关系，我们随即有 $$\varphi_{ij}: U_i \cap U_j \to \text{GL}(\mathbb{K}^k).$$ 它满足如下性质： $$\varphi_{ij} \circ \varphi_{jk} = \varphi_{ik} \quad \text{in } U_i \cap U_j \cap U_k.$$ 这个条件称为上循环条件，名词来源于上同调。

向量丛的一个问题在于用局部坐标和迁移函数来表达丛$E$，即如下命题：

假设有空间$B$及其上的一族开覆盖$\mathcal{U} = \{ U_i \}_{i \in I}$，并有满足上循环条件的函数 $$\varphi_{ij}: U_i \cap U_j \to \text{GL}(\mathbb{K}^k).$$ 那么必存在一个向量丛$\pi: E \to B$使得它的迁移函数是$\{ \varphi_{ij} \}_{i,j \in I}.$

向量丛范畴

向量丛范畴包含对象（这里显然就是每个向量丛）和态射，下面给出态射的定义：

假设两个向量丛$E,F$之间有一个映射$\overline{f}: E \to E'$满足：对任意的$E$中的纤维$E_{b}$，其$\overline{f}$的象集是$E'$的纤维，且$\overline{f}$在每个纤维上都是线性的，这样的映射称为向量丛之间的态射。态射使得图可换： $$f \circ \pi = \pi' \circ \overline{f}.$$ 这里$\pi: E \to B, \pi': E' \to B', f: B \to B'.$且$\overline{f}_b: E_b \to E'_{f(b)}$是线性的。

如果存在$\overline{g}: E' \to E$满足 $$\overline{g} \circ \overline{f} = i_{E}, \quad \overline{f} \circ \overline{g} = i_{E'}.$$ 这里$i_E$是$E$上的恒等态射，那么就称$\overline{f}$是态同构，$\overline{g}$称为$\overline{f}$的逆态射，记作$\overline{f}^{-1}.$

向量丛的线性性就体现在如上定义的态射有线性性上，注意了能存在这样的情况：我们定义的$\overline{f}_b: E_b \to E'_{f(b)}$对每个$b$是线性的，但它可以诱导出一个$\overline{f}$不是双射，进而不是丛同构，这种情况下我们称$\overline{f}$是丛映射。

上面我们讨论的是不同的底空间之间的丛范畴，那么同一个底空间上的丛我们如何分辨他们呢？这就会引出如下的范畴$v(B)$：

1. 对象是丛$E$上的映射$\pi: E \to B.$
2. 丛$E, E'$之间态射是可换图：存在$\overline{f}: E \to E'$使得$\pi' \circ \overline{f} = \pi.$

如果两个同一个底空间上的丛是同构的，我们就说它是同一个丛。

上链

假设有丛$\pi: E \to B, \pi': E' \to B$，它们有共同的开覆盖$\{ U_i \}_{i \in I}$以及对应的局部坐标$\{ (U_i, \varphi_i) \}_{i \in I}, \{ (U_i, \varphi'_i) \}_{i \in I}$，如果存在范畴$v(B)$中的同构$f: E \to E'$，那么对任意的$i \in I$都存在如下的链： $$U_i \times \mathbb{K}^k \overset{\varphi_i}{\longrightarrow} E \overset{f}{\longrightarrow} E' \overset{{\varphi'}_i^{-1}}{\longrightarrow} U_i \times \mathbb{K}^k.$$ 对任意的$b \in U_i$，都有$f_i(b) = {\varphi'}_i^{-1} \circ f \circ \varphi_i \in \text{GL}(\mathbb{K}^k).$ 如下的映射族 $$\begin{align} F: U_i & \to \text{GL}(\mathbb{K}^k), \\ b & \mapsto f_i(b). \end{align}$$ 称为上链。如果$g_{ij}, g'_{ij}$是$E, E'$上的迁移函数，那么它们满足如下条件： $$f_i \circ g_{ij} = g'_{ij} \circ f_j.$$ 这个条件称为上边缘条件。可以证明：

底空间$B$上的两个向量丛$\pi: E \to B, \pi': E' \to B$为同构，当且仅当它们的迁移函数由同一个上链的上边缘关系所连接。

运算

向量丛上的运算包括向量丛的直和、张量积以及外积等，此外还有对偶丛的概念。

不同向量丛之间有参数变换，称之为向量丛的后拉。

子丛和商丛

假设有一向量丛$\pi: E \to B$，$E_1 \subset E$且$\pi_1: E_1 \to E$也是向量丛，满足$\forall b \in B, E_{1b} \subset E_b$是线性子空间，我们就称$E_1$是$E$的子丛，记作$E_1 \leqslant E.$自然存在一个嵌入单同态（态射）$i: E_1 \to E.$

假设同上，定义$E$上的等价关系$v_1 \sim v_2$当且仅当以下两条成立

1. $\pi(v_1) = \pi(v_2).$
2. $v_1 - v_2 \in E_1.$

那么作线性空间的商$E/E_1 := E/\sim$，得到一个商空间，定义其上的投影 $$\begin{align} \overline{\pi}: E/E_1 & \to B, \\ ~[v] & \mapsto \pi(v). \end{align}$$ 因此有$\overline{\pi}^{-1}(b) = E_b/E_{1b}$是线性空间，因此$E/E_1$是向量丛，称为商丛。

商丛满足范畴$v(B)$中对应的泛性质。