向量

说明：这里介绍的向量是三维空间的向量, 如想了解二维向量, 请前往平面向量（平面几何）；想了解高维向量, 前往向量空间（线性代数）.

欢迎来到解析几何的三维空间几何部分！
在这里你将了解到有关空间曲面曲线以及空间变换的相关知识，希望你能收获更多！

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向量（vector）是空间中重要的元素, 它可以将代数运算直接引入几何中, 是线性空间的几何基础.

概念及表示

空间中向量又称矢量, 它是指有大小和方向的量. 通常, 我们可以用加粗的小写字母（印刷体）或小写字母上加右箭头来表示, 如 $\mathbf{v}, \vec{a}$, 一个向量也可以用有向线段 $\overrightarrow{A B}$ 来表示, 向量的大小用这条线段的长度 $|AB|$ 表示, 向量的方向用 $A$ 到 $B$ 的指向表示.

我们可以知道两个向量相等当且仅当它们的大小和方向相等, 而与位置无关. 如果两个向量在经过平移后重合, 我们就可断言这两个向量相等.

向量 $\vec{a}$ 的大小也叫做向量 $\vec{a}$ 的长度, 或向量 $\vec{a}$ 的模（长）, 记为 $|\vec{a}|$.

特别的, 我们把长度为零的向量称为零向量, 记为 $\mathbf{0}$ , 手写体记为 $\vec{0}$, 零向量不定义方向, 或者说, 零向量的方向是任意的；我们把长度为 $1$ 的向量称为单位向量, 与 $\vec{a}$ 同向的单位向量记作 $\vec{a}^0$；我们把与向量 $\vec{a}$ 大小相等方向相反的向量称为 $\vec{a}$ 的反向量, 记作 $-\vec{a}$.

向量的运算

向量加法

向量加法的三角形法则：对于向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，作有向线段 $\overrightarrow{A B}$ 和 $\overrightarrow{B C}$ 分别表示 $\vec{a}, \vec{b}$，我们就把 $\overrightarrow{A C}$ 表示的向量 $\vec{c}$ 称为向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的和，记作 $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$，也就是 $\overrightarrow{A C} = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B C}$。

向量加法的平行四边形法则：对于向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，从同一起点 $O$ 作有向线段 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$ 分别表示 $\vec{a}, \vec{b}$，再以 $OA$ 和 $OB$ 为边作平行四边形 $OACB$，我们就把 $\overrightarrow{O C}$ 表示的向量 $\vec{c}$ 称为向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的和，记作 $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$。 容易知道, 向量的加法与两种法则中起点的选择无关.

对于任意向量, 向量加法满足下列运算规律：

1. 结合律：$( \vec{a} + \vec{b} ) + \vec{c} = \vec{a} + ( \vec{b} + \vec{c} )$
2. 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
3. 有单位元：$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$
4. 有逆元：$\vec{a} + (- \vec{a} ) = \vec{0}$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

(1). 如图(1), 作$\overrightarrow{A B}$表示$\vec{a}, \overrightarrow{B C}$表示$\vec{b}, \overrightarrow{C D}$表示$\vec{c}.$
则$( \vec{a} + \vec{b} ) + \vec{c} = ( \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B C}~) + \overrightarrow{C D} = \overrightarrow{A C} + \overrightarrow{C D} = \overrightarrow{A D}$
$\vec{a} + ( \vec{b} + \vec{c} ) = \overrightarrow{A B} + ( \overrightarrow{B C} + \overrightarrow{C D}~) = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B D} = \overrightarrow{A D}$
$\therefore ( \vec{a} + \vec{b} ) + \vec{c} = \vec{a} + ( \vec{b} + \vec{c} )$
(2). 如图(2), 作$\overrightarrow{A B}$表示$\vec{a}, \overrightarrow{A C}$表示$\vec{b}$, 以$\overrightarrow{A B}$和$\overrightarrow{A C}$为边作平行四边形$ABCD.$
则$\overrightarrow{A C} = \vec{a} + \vec{b}$, 且$\overrightarrow{D C} = \vec{a}$, 从而
$\vec{b} + \vec{a} = \overrightarrow{A D} + \overrightarrow{D C} = \overrightarrow{A C} = \vec{a} + \vec{b}$
(3). 作$\overrightarrow{A B}$表示$\vec{a}, \overrightarrow{B B}$表示$\vec{0}$, 则有
$\vec{a} + \vec{0} = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B B} = \overrightarrow{A B} = \vec{a}$
这证明了$\vec{a}$有右单位元, 由于向量加法是可交换的, 所以$\vec{a}$有单位元.
(4). 作$\overrightarrow{A B}$表示$\vec{a}$, 则
$\vec{a} + (- \vec{a} ) = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B A} = \vec{0}$
这证明了$\vec{a}$有右逆元, 由于向量加法是可交换的, 所以$\vec{a}$有逆元.

加法的逆元常称为负元.

向量数乘

现定义向量的数量乘法运算：实数 $\lambda$ 与向量 $\vec{a}$ 的乘积 $\lambda \vec{a}$ 是一个向量, 它的大小为

$| \lambda \vec{a} | := | \lambda | | \vec{a} |$

当 $\lambda > 0$ 时, 其方向与 $\vec{a}$ 相同, 当 $\lambda < 0$ 时, 其方向与 $\vec{a}$ 相反, 当 $\lambda=0$ 时, $| 0 \vec{a} | = 0 | \vec{a} | = 0$, 所以 $0 \vec{a} = \vec{0}$.

对于任意向量 $\vec{a}$ 和任意常数 $\lambda, \mu$ , 向量数乘满足下列运算规律：

1. $1 \vec{a} = \vec{a} , ( -1 ) \vec{a} = - \vec{a}$
2. $( \lambda \mu ) \vec{a} = \lambda ( \mu \vec{a} ) = \mu ( \lambda \vec{a} )$
3. $( \lambda + \mu ) \vec{a} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{a}$
4. $\lambda ( \vec{a} + \vec{b} ) = \lambda \vec{a} + \lambda \vec{b}$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

性质1和2由定义直接得到, 下证明3和4.

证(3) 当$\lambda\mu\vec{a} = 0$时, 等式两侧都为$0$ （或皆为 $\vec{0}$）, 等式成立.
当$\lambda\mu\vec{a} \ne 0$时, 若$\lambda\mu > 0$, 则$\lambda \vec{a}$ 和 $\mu \vec{a}$ 同向, 所以 $( \lambda + \mu ) \vec{a}$ 和 $\lambda \vec{a} + \mu \vec{a}$ 同向, 且有
$| \lambda \vec{a} + \mu \vec{a} | = | \lambda \vec{a} | + | \mu \vec{a} | = | \lambda | | \vec{a} | + | \mu | | \vec{a} | = ( | \lambda | + | \mu | ) \vec{a} = ( | \lambda + \mu | ) \vec{a} = | ( \lambda + \mu ) \vec{a} |$
若$\lambda\mu < 0,$ 不妨设$\lambda > 0, \mu < 0.$ 分以下三种情况
$\quad$①若$\lambda + \mu = 0,$ 则$( \lambda + \mu ) \vec{a} = 0 \vec{a} = \vec{0}$
$\qquad\lambda \vec{a} + \mu \vec{a} = \lambda \vec{a} + ( - \lambda ) \vec{a} = \lambda \vec{a} + ( - 1) ( \lambda \vec{a} ) = \lambda \vec{a} + ( - \lambda \vec{a} ) = 0$
$\qquad$所以等式成立.

$\quad$②若$\lambda + \mu > 0,$ 考虑到 $- \mu > 0,$ 由前者$\lambda\mu > 0$情况的证明易得
$\begin{array}{rcl} ~~[ ( \lambda + \mu ) + ( - \mu ) ] \vec{a} & = & ( \lambda + \mu ) \vec{a} + ( - \mu ) \vec{a} \\ \lambda \vec{a} & = & ( \lambda + \mu ) \vec{a} + ( - \mu \vec{a}) \\ ( \lambda + \mu ) \vec{a} & = & \lambda \vec{a} + \mu \vec{a} \end{array}$
$\quad$③若$\lambda + \mu < 0,$ 由于$\lambda + \mu$ 与 $-\lambda$同号, 于是由前者$\lambda\mu > 0$情况的证明可知
$\begin{array}{rcl} ~~[ ( \lambda + \mu ) + ( - \lambda ) ] \vec{a} & = & ( \lambda + \mu ) \vec{a} + ( - \lambda ) \vec{a} \end{array}$
$\qquad$类似②的讨论可得结果.

向量三角不等式

对于任意向量 $\vec{a}, \vec{b}$, 都有 $| \vec{a} + \vec{b} | \leqslant | \vec{a} | + | \vec{b} |$ 当且仅当 $\vec{a} = \vec{b}$ 时取等号.

向量的线性组合

对于一组向量 $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \cdots, \vec{a_n}$ 和一组实数 $k_1,k_2,\cdots,k_n$, 称向量 $k_1 \vec{a_1} + k_2 \vec{a_2} + \cdots + k_n \vec{a_n}$ 为向量组 $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \cdots, \vec{a_n}$ 的一个线性组合, 称 $k_1,k_2,\cdots,k_n$ 为该组合的系数.

将向量组的每个向量的起点移至同一点之后, 如果它们的终点在同一直线（平面）上, 称这些向量是共线（共面）的.

向量空间的一组元素中, 若没有向量可用有限个其他向量的线性组合所表示, 则称为线性无关或线性独立, 反之则称为线性相关. 所以, 我们可以证明“两个向量共线当且仅当它们是线性相关的”以及“三个向量共面当且仅当它们是线性相关的”. 这将在线性代数中作为推论给出, 这里仅证明它们的等价命题.

向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 共线当且仅当存在不全为零的实数 $\lambda, \mu$, 使得下列式子成立. $\lambda \vec{a} + \mu \vec{b} = \vec{0}$

向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 共面当且仅当存在不全为零的实数 $\lambda, \mu, \nu$, 使得下列式子成立. $\lambda \vec{a} + \mu \vec{b} + \nu \vec{c}= \vec{0}$

由以上证明, 我们可以得出下面三点共线和四点共面的结论：

三点 $A, B, C$ 共线当且仅当任取一点 $O$, 存在不全为零的实数 $\lambda, \mu, \nu$, 使得下列式子成立. $\lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB} + \nu \overrightarrow{OC} = \vec{0}$且$\lambda + \mu + \nu = 0$

四点 $A, B, C, D$ 共面当且仅当任取一点 $O$, 存在不全为零的实数 $\lambda, \mu, \nu, \omega$, 使得下列式子成立. $\lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB} + \nu \overrightarrow{OC} + \omega \overrightarrow{OD} = \vec{0}$且$\lambda + \mu + \nu + \omega = 0$

同时我们也会得到下面点在线面上的相关结论：

点 $P$ 在直线 $AB$ 上当且仅当任取一点 $O$, 存在实数 $\lambda, \mu$, 使得下列式子成立. $\overrightarrow{OP} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}$且$\lambda + \mu = 1$

点 $P$ 在平面 $ABC$ 上当且仅当任取一点 $O$, 存在实数 $\lambda, \mu, \nu$, 使得下列式子成立. $\overrightarrow{OP} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB} + \nu \overrightarrow{OC}$且$\lambda + \mu + \nu = 1$

最后我们再引出下一节要用到的一个定理, 这个定理可以说明空间中给定三个不共面的向量后其余任意向量表法唯一.

空间中任意给定三个不共面的向量 $\vec{d_1}, \vec{d_2}, \vec{d_3}$ 则存在唯一的实数 $x, y, z$ 使得空间中任意一个向量 $\vec{a} = x \vec{d_1} + y \vec{d_2}+ z \vec{d_3}$, 我们就把向量 $\vec{d_1}, \vec{d_2}, \vec{d_3}$ 称为这个空间的一个基底, 把向量 $\vec{a}$ 用下面的有序数对表示： $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$或${(x, y, z)}^{\operatorname{T}}$

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