后拉

后拉是微分形式间的复合运算（即换元变换），对应了积分的换元积分法。向量丛的后拉参见向量丛的后拉。

概念

假设$U \subset \R^m, V \subset \R^p$都是开集，且$0 < p \leqslant m.$假设$F: V \to U$是可微映射，它有坐标表示 $$x_i = F_i(y) = F_i(y_1, y_2, \cdots, y_p), \forall y \in V, i = 1,2,\cdots,m.$$ 那么对于$\omega \in \varLambda^k(U)$假设 $$\omega = \sum_{1 \leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leqslant m} a_{i_1 i_2 \cdots i_k}(x) \mathrm{d}x_{i_1} \land \mathrm{d}x_{i_2} \land \cdots \land \mathrm{d}x_{i_k} \quad (*).$$ 用$F^*(\omega)$表示$V$上的下列$k$次微分形式 $$F^*(\omega) = \sum_{1 \leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leqslant m} a_{i_1 i_2 \cdots i_k} (F(y))\mathrm{d}F_{i_1}(y) \land \mathrm{d}F_{i_2}(y) \land \cdots \land \mathrm{d}F_{i_k}(y).$$ 我们就称$F^*(\omega)$是$\omega$在映射$F$下的后拉。 特别地，当$\omega$是0形式时，$F^*(\omega)$为复合函数$\omega \circ F$，这时$F^*(\omega)$也是0形式。

计算

显然有 $$\begin{align} F^*(\omega) & = \sum_{1 \leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leqslant m} a_{i_1 i_2 \cdots i_k} (F(y)) \mathrm{d}F_{i_1}(y) \land \mathrm{d}F_{i_2}(y) \land \cdots \land \mathrm{d}F_{i_k}(y) \\ & = \sum_{1 \leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leqslant m} a_{i_1 i_2 \cdots i_k} (F(y)) \bigwedge_{l=1}^k \left( \sum_{j_l=1}^p \dfrac{\partial F_{i_l}(y)}{\partial y_{j_l}} \mathrm{d}y_{j_l} \right) \\ & = \sum_{j_1, j_2, \cdots, i_k=1}^p b_{j_1 j_2 \cdots j_k}(y) \mathrm{d}y_{j_1} \land \mathrm{d}y_{j_2} \land \cdots \land \mathrm{d}y_{j_k}. \end{align}$$ 这里， $$b_{j_1 j_2 \cdots j_k}(y) = \sum_{1 \leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leqslant m} a_{i_1 i_2 \cdots i_k} (F(y)) \prod_{l=1}^k \dfrac{\partial F_{i_l}(y)}{\partial y_{j_l}}.$$ 特别地，如果 $$\omega = a(x) \mathrm{d}x_{i_1} \land \mathrm{d}x_{i_2} \land \cdots \land \mathrm{d}x_{i_k}.$$ 那么 $$F^*(\omega) = a(F(y)) \sum_{1 \leqslant j_1 < j_2 < \cdots < j_k \leqslant p} \dfrac{\partial (F_{i_1}, F_{i_2}, \cdots, F_{i_k})}{\partial(y_{j_1}, y_{j_2}, \cdots, y_{j_k})} \mathrm{d}y_{j_1} \land \mathrm{d}y_{j_2} \land \cdots \land \mathrm{d}y_{j_k}.$$ 另外，假设$U, V \in \R^m$都是开集且存在一个可微映射$F: V \to U, y \mapsto x = F(y)$，它的 Jacobi 矩阵记作 $$J(F)(x), \quad x \in V.$$ 那么$U$上的任意$m$形式 $$\omega = a(x) \mathrm{d}x_1 \land \mathrm{d}x_2 \land \cdots \land \mathrm{d}x_m, \quad x \in U.$$ 的后拉 $$F^*(\omega) = a(F(y)) \det J(F) \mathrm{d}y_1 \land \mathrm{d}y_2 \land \cdots \land \mathrm{d}y_m, \quad y \in V.$$

运算法则

1. 线性性：$$\forall \omega, \mu \in \varLambda^k(U), \forall a, b \in \R, F^*(a\omega+b\mu) = aF^*(\omega) + bF^*(\mu).$$
2. 对外积的分配律：$$\forall \omega \in \varLambda^k(U), \mu \in \varLambda^l(U), F^*(\omega \land \mu) = F^*(\omega) \land F^*(\mu).$$
3. 交换性：$$\forall \omega \in \varLambda^k(U), F^*(\mathrm{d}\omega) = \mathrm{d}F^*(\omega).$$
4. 假设有开集$U_1, U_2 \in \R^k, V \in \R^m, 0 < k \leqslant m$，另有三个可微映射$$F_1: U_1 \to V, F_2: U_2 \to V, G: U_1 \to U_2$$满足$F_1 = F_2 \circ G$，那么有$$F_1^*(\omega) = G^*(F_2^*(\omega)), \quad \forall \omega \in \varLambda^k(U).$$也就是说$$(F_2 \circ G)^* = G^* \circ F_2^*.$$