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由于同余是一个整数环上的等价关系,我们来建立同余意义下“等价类”的概念——同余类

定义[]

对于确定整数而言,所有模同余于的数,构成一个集合,称作一个同余类,即

如模同余于的同余类就是这个集合。在同余的意义下,和所有模同余于的元素所得的结果是一样的,因此可以说,把这些数都“代表”了。

这实际上是对整数集全体做了一个划分,最简单的一个划分就是模的同余类——将整数分为奇数偶数

划分有限性[]

两个模的同余类,因此模同余类有个,它们是

完全剩余系[]

若从模的所有不同同余类中,各取出一个元素组成的集合,称为模的一个完全剩余系完全代表系,简称完系,如模的完全剩余系就是,其中是任意整数。很多时候讨论模的完全剩余系时,都讨论由(即任意数除时,在一般定义下所有可能出现的余数)这几个数所组成的完全剩余系,因为不管讨论哪个剩余系,很多定理都会有相同的结果,因此很多时候讨论模的完全剩余系时,就是讨论这个剩余系。

性质[]

,若的一个完系,那么也是的一个完系。

这意味着完系可以在整数集合上“放缩”和“平移”。

缩同余类与缩代表系[]

对于而言,若,那么模的一个同余类中的所有整数都与互素,这样的同余类叫做模缩同余类。模的缩同余类的个数是中与互素的元素个数。

像同余类与完系那样,从每个模的缩同余类中取一个代表,这些代表组成的集合叫做模的一个缩代表系,简称缩系。例如,是模的一个缩系,而是模的一个缩系。由于素数与所有比它小的正整数都互素,因此,模素数的缩系就是它的完系。 所有模的缩系中都有元素

欧拉函数中,我们会对模的缩系的元素个数做一个具体的刻画。

性质[]

,若的一个缩系,那么也是的一个缩系。

这意味着完系可以在整数集合上“放缩”,但一般不能“平移”。

上下节[]

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