同餘類的代數結構

我們像整環那樣，建立起類似的同餘類上的四則運算，進而研究施加運算后的集合的代數結構。

如果我們把每個模$m$的同餘類$\overline{a}$看作一個元素，那麽$m$個元素構成的集合$\{ \overline{a_1}, \overline{a_2}, \cdots, \overline{a_m} \}$稱爲模$m$的同餘類集合，記爲$\Z_m$。

$\overline{a}$和$\overline{b}$是模$m$的同餘類集合$\Z_m$中的同一個元素當且僅當$a \equiv b \pmod{m}$。

這是一個有限集合，我們對它引入四則運算。

加法交換群$\Z_m$

定義加法$\overline{a}+\overline{b}=\overline{a+b}$，這是合理的（請讀者自證）。

這種同餘類之間的運算可以認爲是集合$\Z_m$上的運算，它滿足交換律、結合律以及消去律，有零元$\overline{0}$，且對於每個元素$\overline{a}$，有唯一逆元$\overline{-a}$。依據此，我們可以定義減法——作爲加法的逆運算：$\overline{a}-\overline{b}=\overline{a-b}$。

因此，$\Z_m$是一個加法交換群。

同餘類環$\Z_m$

定義乘法$\overline{a} \cdot \overline{b}=\overline{a \cdot b}$，這也是合理的。

這種同餘類之間的運算可以認爲是集合$\Z_m$上的運算，它滿足交換律以及結合律，有幺元$\overline{1}$，且乘法對上面定義的加法有分配律。因此，$\Z_m$是一個交換環，它被稱爲模$m$的同餘類環。

乘法交換群$\Z_m^*$

引入乘法后我們再考慮除法，如果一個環中元素對乘法有逆元，那它就可做除法，具體來説，對於$\overline{a} \in \Z_m$，如果存在$\overline{b} \in \Z_m$，使得$\overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{1}$，那麽就稱元素$\overline{a}$在$\Z_m$中可逆，並記$\overline{a}^{-1} = \overline{b}$。我們知道，并不是所有$\Z_m$中的元素都有逆元，例如$\Z_4$中，元素$\overline{2}$就沒有（這是因爲$\overline{2} \cdot \overline{0} = \overline{0} \ne \overline{1}$、$\overline{2} \cdot \overline{1} = \overline{2} \ne \overline{1}$、$\overline{2} \cdot \overline{2} = \overline{0} \ne \overline{1}$、$\overline{2} \cdot \overline{3} = \overline{2} \ne \overline{1}$）。下面這個定理告訴我們哪些元素對乘法有逆元：

環$\Z_m$中元素可逆當且僅當$(a, m) = 1$，即$\overline{a}$是模$m$的縮同餘類。

於是，考慮模$m$的一個縮係（縮同餘類集合）$\Z_m^*$，我們斷言如果$\overline{a}, \overline{b} \in \Z_m^*$，那麽有$\overline{a} \cdot \overline{b} \in \Z_m^*$，這是因爲如果$(a, m) = (b, m) = 1$，那麽$(ab, m) = 1$，因此$\Z_m^*$對乘法封閉，$\Z_m^*$構成一個乘法交換群。

有限域$\Z_{p}$

定理：環$\Z_m$是域，當且僅當$m$是素數。我們一般把這個域記爲$\Z_{p}$，其中的加法與乘法在上文已定義，除零元外每個元素都可逆，且元素有限。

數論中的同餘意義下引出的有限域概念是抽象代數中有限域的一個具體實例，後面我們可以看到，這個域還可以有更簡單的結構，關於乘法構成循環群，即其中的所有元素可以由某個元素不斷自乘得到。

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