同胚

同胚（homeomorphism）或称同胚映射是拓扑学中的一个概念，拓扑空间在同胚意义下的不变的量或性质，称为拓扑不变量或拓扑性质，这是拓扑学研究的重点。

定义

连续映射

拓扑空间之间的映射$f: X \to Y$在点$x \in X$称为是连续的是指，对$f(x)$在$Y$中的任何邻域$N$，$f^{-1} (N)$是$x$的邻域，形象来说就是——开集的原象是开集。它是拓扑空间范畴$\mathsf{Top}$中的态射。

如果$f$在$X$的每一点都连续，则称$f$是连续的。

同胚

$f: X \to Y$称为是同胚映射或简称同胚，如果$f$是双射且$f^{-1}$是连续的。如果对于拓扑空间$X, Y$而言存在同胚映射$f: X \to Y$，我们就称$X, Y$是同胚的（homeomorphic），记作$X \approx Y$或$X \cong Y.$它是拓扑空间范畴$\mathsf{Top}$中的同构。

性质

1. 如果$f: X \to Y$是连续双射，那么下面三款等价
   1. $f$是同胚。
   2. $f$是开映射（映开集为开集）。
   3. $f$是闭映射（映闭集为闭集）。
2. 同胚的复合是同胚。

一些例子

几何学

1. 几何中的 Euclid 变换（例如平移变换）是同胚映射，仿射变换（例如相似变换）也是同胚映射。
2. 可逆矩阵的同胚映射。
3. 简单闭曲线互相同胚。
4. 凸多边形和圆周$S^1$同胚，凸多面体和球面$S^2$同胚。
5. 四次代数环面和$S^1 \times S^1$同胚。
6. 拓展平面$\R^2 \cup \{ \infty \}$（平面的一点紧化）和$S^2$同胚，一般地，$\R^n$的一点紧化和$S^n$同胚（$n > 0$）。
7. 简单闭准线和有限长母线的柱面和平环同胚（均作为开集）；简单闭准线和无限长母线的柱面和平面去掉一点同胚，进而和上半圆锥面去掉锥底同胚。

拓扑学

1. 线性空间$\R$的商空间$\R/\Z$和$S^1$同胚；但是在拓扑上，假设整数集为$A$，那么$\R/A$作为商拓扑诱导的商空间和可列个圆周的楔和$\bigvee_{n \in \N} S^1$同胚。
2. 实射影空间$\mathbb{P}^n$和$\R^n$局部同胚。
3. 假设$C$是无限长母线的柱面$H$的一条简单闭准线，那么$H/C$和锥面同胚。
4. $S^1$的同胚：$[a, b]/(a \sim b)$，这里$a, b \in \R, b > a.$
5. $S^2 \cong \overline{B_{\R^2}(0, r)}/\sim$，等价关系$\sim$定义为：$(x, y) \sim (x, -y), (x, y) \in \partial \overline{B_{\R^2}(0, r)}.$

局部同胚

假设$X, Y$是拓扑空间，$f: X \to Y$如果满足：

1. $\forall x \in X$存在$x$的开邻域$U$使得$f(U)$是$y=f(x)$的开邻域。
2. 在上面的假设下$f|_U: U \to f(U)$是同胚。

我们就称$f$是局部（local）同胚，$X, Y$是局部同胚的。 性质：

1. 一个同胚是局部同胚；
2. 局部同胚是连续的开映射；
3. 一个局部同胚如果还是双射，那么它是同胚。

参考资料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.