同态

在数学中，同态（homomorphism）一般指代数同态，即描述两个同型代数之间结构相似程度的映射。

定义

假设有两个同类型$\mathcal{F}$的代数$A, B$，存在一个映射$\alpha: A \to B$使得对于任意的$n$元函数符号$f \in \mathcal{F}$，以及任意的$x_i \in A, i = 1,2,\cdots,n$有 $$\alpha f^A(x_1, x_2, \cdots, x_n) = f^B(\alpha x_1, \alpha x_2, \cdots, \alpha x_n).$$ 那么我们就说$\alpha: A, B$是同态（映射）。

此外

1. 如果$\alpha: A \to B$作为集合映射还是单射，我们就说它是单同态（monomorphism）。
2. 如果$\alpha: A \to B$作为集合映射还是满射，我们就说它是满同态（epimorphism）。
3. 如果$\alpha: A \to B$作为集合映射还是双射，我们就说它是同构（isomorphism）。
4. 如果$\alpha: A \to A$，我们就说它是自同态（endomorphism）。
5. 如果$\alpha: A \to A$作为集合映射还是双射，我们就说它是自同构（automorphism）。
6. $\text{im } \alpha = \alpha(A)$称为同态象（homomorphic image），它是$B$的子代数。
7. $\ker \alpha = \alpha^{-1}(B)$称为同态核（kernel），它是$A$的子代数。

我们称两个同态$\alpha: A \to B, \beta: A \to B$是相等的，是指它们作为集合映射是相等的。可以证明，如果代数$A$是由集合$X$生成的，那么其上的同态$\alpha: A \to B, \beta: A \to B$相等仅需要求它们在$X$上相等即可。

同态的复合依然是同态，具体地说：如果$A, B, C$是同类型的代数，且有同态$\alpha: A \to B, \beta: B \to C$，那么它们的复合（作为集合映射的复合）$\beta \circ \alpha: A \to C$也是同态。

同态定理

群论、环论以及模论中的同态定理是代数上的同态定理的特例。

首先给出自然满同态的概念：假设$A$是一个代数且$\theta$是$A$上的同余，有自然映射（natural map）$\pi_\theta: A \to A/\theta, \pi_\theta(a) = a/\theta.$有时也简记为$\pi.$它还是满同态，被称为自然同态（natural homomorphism）。

同态定理（homomorphism theorem）又称第一同构定理（the first isomorphism theorem）。是说：假设$\alpha: A \to B$是满同态，那么存在一个同构$\beta: A/\ker \alpha \to B$满足 $$\alpha = \beta \circ \pi.$$ 即$A/\ker \alpha \cong B.$ 略加推广：假设$\alpha: A \to B$是同态，那么$A/\ker \alpha \cong \text{im } \alpha.$ 另外两个同构定理参见同构#同构定理。

参考资料

1. S. Burris, H. P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra, GTM Vol.78, Springer, New York, 2011-10, ISBN 978-1-4613-8132-7.