合流超几何函数

合流超几何函数是通过将超几何方程的两个奇点相合得到的微分方程。

合流超几何方程

假设有超几何方程 $$z(1-z)w''+[\gamma -(\alpha +\beta +1)z]w'-\alpha \beta w=0.$$ 它的奇点为$z = 0,1,\infty$，用$\dfrac{z}{b}$代替$z$，得到 $$z\left(1-{\dfrac {z}{b}}\right)w''+\left[\gamma -(\alpha +\beta +1){\dfrac {z}{b}}\right]w'-\alpha {\dfrac {\beta }{b}}w=0.$$ 该方程的奇点为$z = 0, b, \infty$，令$b = \beta \to \infty$得到 $$zw''+(\gamma -z)w'-\alpha w=0,$$ 该方程称为合流超几何方程，它的正则奇点为$z=0$，而$z=\infty$成为合流之后的非正则奇点。

该方程在奇点$z=0$处的指标方程为$\rho(\rho-1) + \gamma \rho = 0$，因此两个指标分别为$\rho = 0, 1-\gamma.$当$\gamma \notin \N$时方程#A1的两个线性无关的解为 $$\begin{align} w_1(z) & = F(\alpha, \gamma, z), \\ w_2(z) & = z^{1-\gamma} F(\alpha-\gamma+1, 2-\gamma, z). \end{align}$$ 这里 $$F(\alpha, \gamma, z) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(\alpha)_n}{n! (\gamma)_n} z^n, \quad \gamma \ne 0, -1, -2, \cdots.$$ 称为合流超几何函数。

Kummer 变换

1. 第一变换公式：$\text{e}^{-z} F(\alpha, \gamma, z) = F(\gamma-\alpha, \gamma, -z).$
2. 第二变换公式：$\text{e}^{-\frac{z}{2}} F(\alpha, 2\alpha, z) = {_0F_1} \!\left( \dfrac{1}{2} + \alpha; \dfrac{z^2}{16} \right).$

连带函数

和超几何函数类似，合流超几何函数也有连带函数以及相应的关系式。假设有合流超几何函数$F(\alpha, \gamma, z)$以及整数$l,m$，那么$F(\alpha+l, \gamma+m, z)$被称为$F(\alpha, \gamma, z)$的连带函数，或邻次函数。在不引起混淆的情况下$F(\alpha, \gamma, z)$简记作$F$，而与$F$仅差一个复常数的超几何函数$F(\alpha+l, \gamma, z)$简记作$F(\alpha+l)$；$F(\alpha, \gamma+m, z)$简记作$F(\gamma+m).$

任意三个连带函数$F_1, F_2, F_3$之间有关系 $$A_1 F_1 + A_2 F_2 + A_3 F_3 = 0.$$ 这里$A_1, A_2, A_3$是关于$z$的有理函数。

最基本的两个关系式为 $$\begin{align} (\gamma-1) F(\gamma-1) - \alpha F(\alpha+1) - (\gamma-\alpha-1) F = 0, \\ \gamma F - z F(\gamma+1) - \gamma F(\alpha-1) = 0. \end{align}$$ 此外还有导数关系 $$\dfrac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}z^m} F(\alpha, \gamma, z) = \dfrac{(\alpha)_m}{(\gamma)_m} F(\alpha+m, \gamma+m, z).$$

参考资料

1. 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函数概论》, 北京大学出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.