可降阶的高阶微分方程

对于一个一般的高阶常微分方程没有一般通用解法，能解出的方程也十分稀少，一个可行的策略是将高阶的方程转化为更低阶的方程，例如化二阶微分方程为一阶微分方程，这样在一定程度上可以简化计算。

降阶积分型

设一个$n$阶常微分方程中不显含$y, y', \cdots, y^{(k-1)}$，即

$$F(x, y^{(k)}, y^{(k+1)}, \cdots, y^{(n)}) = 0.$$

令$z(x) = y^{(k)} (x)$，就得到

$$F(x, z, z', \cdots, z^{(n-k)}) = 0.$$

设法若求得上述低阶方程的通解

$$z(x) = \varphi(x, C_1, C_2, \cdots, C_{n-k}).$$

对其积分$k$次，就得到

$$y(x) = \psi(x, C_1, C_2, \cdots, C_{n}).$$

导数代换型

设一个$n$阶常微分方程中不显含自变量$x$，即

$$F(y, y', y'', \cdots, y^{(n)}) = 0.$$

做代换$z(y) = y'(x)$，将$y$视作新变元，注意到

$$\begin{cases} y' = z, \\ y'' = \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y} \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = z \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}, \\ y''' = \dfrac{\mathrm{d}y''}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\mathrm{d}y''}{\mathrm{d}y} \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = z \left( \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y} \right)^2 + z^2 \dfrac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}y^2}, \\ \cdots. \end{cases}$$

这样，原来的$n$阶方程可以化为如下$n-1$阶方程

$$G \left( y, z, \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}, \dfrac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}y^2}, \cdots, \dfrac{\mathrm{d}^{n-1} z}{\mathrm{d}y^{n-1}} \right) = 0.$$

齐次微分方程的特解变换

这里假设齐次微分方程是变系数的，常系数的在Euler 待定指数函数法和非齐次常系数线性常微分方程中已有讨论.

若已知齐次线性微分方程

$${\dfrac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}+a_{1}(x){\dfrac {\mathrm {d} ^{n-1}y}{\mathrm {d} x^{n-1}}}+\cdots +a_{n-1}(x){\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+a_{n}(x)y=0$$

的$k$个非零线性无关的特解$y_j (x), j = 1,2,\cdots,k$，可以通过适当的变换，使其阶数降低$k$阶，得到一个$n-k$阶的齐次微分方程。

令$y(x) = y_k (x) z(x)$，根据莱布尼兹公式得到它的各阶导数

$$y^{(j)} (x) = \sum_{j=1}^j \binom{j}{i} y_k^{(i)} (x) z^{(j-i)} (x), \quad j = 1,2,\cdots,k.$$

将它们代入#A1中，得到

$$\sum_{j=0}^n \sum_{i=0}^{n-j} \binom{n-i}{j} a_i (x) y_k^{(n-j-i)} (x) z^{(j)} (x) = 0.$$

其中$a_0 (x) = 1, \binom{0}{0} = 1$，注意到$j = 0$时

$$\sum_{i=0}^{n} \binom{n-i}{0} a_i (x) y_k^{(n-i)} (x) z (x) = 0$$

及$y_k (x)$时方程#A1的一个解，上式恒成立，消去后便得到

$$\sum_{j=1}^n \sum_{i=0}^{n-j} \binom{n-i}{j} a_i (x) y_k^{(n-j-i)} (x) z^{(j)} (x) = 0.$$

它是一个不显含因变量$z(x)$的方程，最高阶导数项系数是$y_k (x)$，由导数代换型的分析，引入新变量$w(x) = z'(x)$，并在上式中各项同时除以$y_k (x)$，便得到

$$w^{(n-1)}(x)+b_{1}(x)w^{(n-2)}(x)+\cdots +b_{n-1}w(x)=0,$$

方程的阶数降了一阶，且$y(x) = y_k (x) \int w(x) \mathrm{d}x.$

因此，利用$k$个线性无关的特解，可以将原方程降低$k$阶，得到$n-k$阶的较为简单的方程。

上下节

• 上一节：非齐次常系数线性常微分方程
• 下一节：常微分方程的幂级数解法

参考资料

1. 王高雄, 周之铭, 朱思铭, 王寿松, 《常微分方程（第三版）》, 高等教育出版社, 北京, 1978-12, ISBN 978-7-0401-9366-4.