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矩阵代数中,矩阵的逆的概念是从一般的数的乘法中受到启发进而定义出矩阵的单位元以及讨论矩阵逆元的存在性的问题,一个矩阵的逆是指复合原矩阵后可以得到单位矩阵的矩阵,一般的长方阵可以考虑左逆和右逆(参见Moore-Penrose 广义逆),而对于方阵来说左逆和右逆若存在一定相等。

单位矩阵[]

,显然,如果设是只有主对角线上的元素是,其余元素均为阶方阵,即,那么

因此,我们找到了阶方阵乘法的单位元,也称为单位矩阵,有时也会记为

逆的定义[]

,如果存在一矩阵,使得,就称矩阵可逆的(inversible),并记

显然,零矩阵不是可逆矩阵,因为

如果矩阵有逆元,则它的逆元是唯一的

性质[]

  • 可逆,则也可逆,且
  • 可逆,则也可逆,且
  • 可逆,则也可逆,且
  • 可逆,则

逆的求法[]

求一个可逆矩阵的逆(或判断一个矩阵是否可逆)是矩阵代数中的一个重要问题,其中最有效的算法是 Gauss 消元法,其涉及到初等变换的知识。

欲求一个方阵的逆阵,构造分块矩阵,然后经过初等行变换化为,则

当然也可以使用初等列变换。

上下节[]

参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.
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