可积函数空间

在函数空间理论中，Riemann 可积函数空间是一类函数空间，它以 Riemann 积分为度量。

概念

一维情形下，假设有界区间$[a, b]$上的全体 Riemann 可积函数（即几乎处处连续的函数）为$R[a, b]$，定义距离 $$\rho (x_{1},x_{2})=\int _{a}^{b}|x_{1}(t)-x_{2}(t)|\mathrm {d} t,$$ 那么$(R[a, b], \rho)$构成一个度量空间。

然而，遗憾的是上述空间不是完备的，例如，假设$\{ r_n \}_{n=1}^\infty$是$[0,1]$上的有理数，下面的函数列 $$x_n(t) = \begin{cases} 1, & x = r_1, r_2, \cdots, r_n, \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$ 是$[0,1]$上的 Riemann 可积函数列，但是它的极限是 Dirichlet 函数，Riemann 不可积。

完备化

Riemann 可积函数空间的完备化空间是 Lebesgue 可积函数空间，以下给出一维情形下的证明。

$R[a, b]$在距离定义为#A1时的完备化空间是$L[a, b]$，其中的距离为相应的 Lebesgue 积分。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

记

$$\rho(x, y) := (L) \int_{[a, b]} |x(t) - y(t)| \mathrm{d}t, \quad x, y \in L[a, b].$$ 是$L[a, b]$上的度量。构造空间 $$\overline{R} := \left\{ x(t) \in L[a, b] \text{ s.t. } \lim_{n\to\infty} \rho(x_n, x) = 0, x_n(t) \in R[a, b] \right\}.$$ 由于$\overline{R} \subset L[a, b]$，我们规定$\overline{R}$上的度量为$\rho$限制在$\overline{R}$上的结果，使用相同记号。
我们即将证明：

1. $\overline{R}$是完备的；
2. $\overline{R}$是$R[a, b]$的完备化空间；
3. $\overline{R} = L[a, b].$

为证第一条，取$\overline{R}$的 Cauchy 列$\{ x_n(t) \}$，则由$L[a, b]$的完备性可知，存在$x(t) \in L[a, b]$任取$\varepsilon > 0$存在$N \in \N^+$，使得$n > N$时 $$\rho(x_n, x) < \dfrac{\varepsilon}{2}.$$ 下面我们证明$x(t) \in \overline{R}$，即寻求$\{ y_n(t) \} \subset R[a, b]$使得 $$\lim_{n \to \infty} \rho(y_n, x) = 0.$$ 实际上，对于$\varepsilon > 0, \exists y_n(t) \in R[a, b]$使得 $$\rho(x_n, y_n) < \dfrac{\varepsilon}{2}.$$ 由三角不等式 $$\rho(x_n, x) \leqslant \rho(x_n, y_n) + \rho(y_n, x) < \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$ 第二条，注意到$R[a, b]$在$\overline{R}$中稠密是显然的，然后使用完备化空间#稠密性引理即可。
第三条，仅需证明$L[a, b] \subset \overline{R}$，任取$x(t) \in L[a, b]$，则由稠密性存在$\{ x_n(t) \} \subset R[a, b]$使得 $$\rho(x, x_n) = 0.$$

因此$x(t) \in \overline{R}.$