可测空间

可测空间（measurable space）是装备了一个集合系的非空集合，这个集合系是该非空集合的特殊子集（σ-代数），而测度空间（measure space）则是定义了一种测度的可测空间（二者是有区别的）。

可测空间

假设有非空集合$X$和集合系$\mathcal{E} \in 2^X$，$X$的某个子集生成的 σ-代数为$\mathcal{F}$，我们称$(X, \mathcal{F})$是可测空间（measurable space）。$\mathcal{F}$中的集合称为可测集（measurable set）。

测度空间

测度空间是装备有测度的可测空间，即：假设有可测空间$(X, \mathcal{F})$以及测度$\mu: \mathcal{F} \to \R_{\geqslant 0}$，我们称三元组$(X, \mathcal{F}, \mu)$是测度空间（measure space）。

1. 如果$\mu$是有限的，我们就说测度空间$(X, \mathcal{F}, \mu)$是有限的；
2. 如果$\mu$是 σ 有限的，我们就说测度空间$(X, \mathcal{F}, \mu)$是 σ 有限的。

同样可以定义符号测度空间，不过这不常用，我们一般说可测空间$(X, \mathcal{F})$及其上的一个符号测度$\mu.$

完全测度空间

假设有测度空间$(X, \mathcal{E}, \mu)$满足：$\mu$的任意零测集的子集依然是$\mathcal{E}$中的元素，我们就称$(X, \mathcal{E}, \mu)$是完全的（complete）。

显然完全测度空间中任意零测集的子集还是零测集。注意这在一般的测度空间中未必成立，零测集的子集未必可测，这也造成了我们在使用一般的测度空间时很多情况下出现难以克服的困难，因为零测集的子集在一些分析中经常会被用到，例如放缩不等式时，一个绝对值小于等于零我们要得到这个绝对值就是零，然是我们要注意这个绝对值必须是有意义的，因此必须考察零测集的子集，这就导致了 Caratheodory 定理的出现，任意一个测度空间都是可以完全化的，只需要再次收集那些零测集的子集让它们在一定条件下生成一个新的 σ 代数即可。

参考资料

1. 程士宏, 《测度论与概率论基础》, 北京大学出版社, 北京, 2006-06, ISBN 978-7-3010-6345-3.