可测映射

在测度论中，可测映射（measurable map）是两个可测空间之间的保持 σ-代数的映射，它是可测空间范畴中的态射。

定义

假设有可测空间$(X, \mathcal{M}), (Y, \mathcal{N})$以及映射$f: X \to Y$，如果对任意的$E \in \mathcal{N}$，原象集$f^{-1}(E) \in \mathcal{M}$，我们就称$f$是$(\mathcal{M}, \mathcal{N})$可测的，简称可测。

根据可测映射的定义，我们可以得到$f^{-1}(\mathcal{N}) \subset \mathcal{M}$，我们把$\sigma(f) := f^{-1}(\mathcal{N})$称作使得映射$f$可测的最小σ代数。

特别地，当$Y = \C, \mathcal{N} = \mathcal{B}_\C$时这样的可测映射称为$\mathcal{M}$可测函数或简称可测函数。

在概率论中，可测映射也被称为随机元而可测函数也被称为随机变量。

基本性质

1. 可测映射的复合还是可测映射。
2. 假设$\mathcal N$是由$\mathcal{E}$生成的 σ-代数，那么$f: X \to Y$可测当且仅当$\forall E \in \mathcal{E}$，$f^{-1}(E) \in \mathcal{M}.$
3. 假设$g: X \to Y$是从$(X, \mathcal{M})$到$(Y, \mathcal{N})$的可测映射，则$h$是$(X, g^{-1}(\mathcal{\mathcal{N}}))$上的可测函数当且仅当存在$(Y, \mathcal{N})$上的可测函数$f$使得$h = f \circ g.$

参考资料

1. Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions(4th Ed.), Studies in Advanced Mathematics Vol.5, CRC Press, 1991, ISBN 978-0-8493-7157-8.