可测函数列

在实变函数和测度论中，可测函数列是可测函数的序列，类比于数学分析中的连续函数列，借助于此可以定义函数列的收敛性。本页面就着重讨论可测函数列的收敛性。

逐点收敛和一致收敛和数学分析中函数列的定义差不多，只是函数值可以取到广义实数，不拟赘述。

几乎处处收敛

假设有测度空间$(X, \mathcal{F}, \mu)$上的一可测集$E$上有一列广义实值函数$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$，若存在$Z \subseteq E$满足$\mu(Z) = 0$，且

$$\forall x \in E-Z, \lim_{k \to \infty} f_k (x) = f(x).$$

我们就说函数列$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$在$E$上几乎处处收敛（almost everywhere）于$f(x)$，记作$f_k (x) \to f(x), \text{a.e.} x \in E.$

若$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$是$E$上的可测函数列，那么$f(x)$也是$E$上的可测函数。

数学分析中定义的处处收敛（逐点收敛）的函数序列显然是几乎处处收敛的。几乎处处收敛的性质在是分析中较差，其中最重要的一个原因是几乎处处收敛是不可度量化的：

假设$U \subset \R^n$是一个任意的集合，$F(U)$收集了$U$上的所有实值或复值函数，那么不存在一个度量使其诱导的收敛性是$F(U)$上的逐点收敛。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

反证法，假设存在这样的度量$\rho$，假设$C(U)$是$U$上的所有连续函数全体，那么${\overline {C(U)}}$是连续函数及其一致极限的全体，是第一纲集，但是第一纲集的闭包${\overline {\overline {C(U)}}}$是第二纲集（Baire 定理指出：完备空间是第二纲的），如果$C(M)$在$\rho$下是度量空间，应有${\overline {\overline {C(U)}}}={\overline {C(U)}}$，这是不可能的。

近一致收敛

设可测集$E$上几乎处处有限的函数序列$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$满足：对任意的$\delta > 0$，存在正测集$E_\delta \subseteq E, m(E_\delta) \leqslant \delta$使得函数列$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$在$E - E_\delta$上一致收敛于$f(x).$我们就称$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$在$E$上近一致收敛于$f(x).$这种性质称为近一致收敛性（almost uniform convergence）。

数学分析中定义的一致收敛的函数序列显然是近一致收敛的。以下是刻画几乎处处收敛和一致收敛的著名的 Egorov 定理。

可测集$E$（满足$\mu(E) < +\infty$）上几乎处处有限的可测函数序列$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$，如果在$E$上几乎处处收敛于$f(x)$，那么它也在$E$上近一致收敛于$f(x).$

其逆命题是平凡的。不能将命题的结论加强为“几乎处处一致收敛”，也不能将条件中“$\mu(E) < +\infty$”去掉。

依测度收敛

这种收敛性不关注点态行为，而关注整体大量点的收敛趋势（积分形态），在概率论中有重要应用。

设$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$是$E$上几乎处处有限的可测函数，若存在函数$f(x)$，对任意的$\varepsilon > 0$有

$$\lim_{k \to \infty} \mu(\{ x \in E: |f_k (x) - f(x)| > \varepsilon \}) = 0$$

我们就说$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$在$E$上依测度收敛（converge in measure）于$f(x).$

这样的定义是良好的，因为$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$如果依测度收敛到$f(x)$和$g(x)$，那么$f(x)$和$g(x)$在$E$上几乎处处相等。

$E$（满足$\mu(E) < +\infty$）上几乎处处有限的可测函数序列$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$，如果在$E$上几乎处处收敛于几乎处处有限的函数$f(x)$，那么它也在$E$上依测度收敛于$f(x).$

$E$上几乎处处有限的可测函数序列$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$，如果在$E$上近一致收敛于$f(x)$，那么它也在$E$上依测度收敛于$f(x).$

如果$E$上的可测函数序列$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$依测度收敛于$f(x)$，那么它存在一个子列$\{ f_{k_i} (x) \}_{i=0}^\infty$在$E$上几乎处处收敛于$f(x).$

这种收敛性可以由某种度量诱导，参见依测度收敛以及 S 空间。

几种收敛之间的关系

如下图：

参考资料

1. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.