可测函数

在实变函数中，可测函数是研究的重要对象，就像数学分析主要研究连续函数那样。

测度论上的可测函数参见/测度论。

定义

设在有限维 Euclid 空间中，广义实值函数（意思是函数值可以取到广义实数$\pm\infty$）$f(x)$定义在一个 可测集$E \subseteq \R^n$上，如果对任意的有限实数$t \in \mathbb{R}$，集合

$$\{ x \in E: f(x) > t \}$$

是可测集，那么我们就称$f(x)$是$E$上的可测函数。

上述定义的条件可以用以下任意一条替换：

1. $\{ x \in E: f(x) \leqslant t \} = E - \{ x \in E: f(x) > t \}$是可测集；
2. $\{ x \in E: f(x) \geqslant t \} = \bigcap_{k=1}^\infty \left\{ x \in E: f(x) > t - \dfrac{1}{k} \right\}$是可测集；
3. $\{ x \in E: f(x) < t \} = E - \{ x \in E: f(x) \geqslant t \}$是可测集。

在不引起混淆的情况下$\{ x \in E: f(x) > t \}$可简写为$\{x: f(x) > t\}$，其余相似的简写也被采用。

性质

运算性质

可测函数有如下运算性质：

1. $E$上的可测函数$f(x)$的实数倍$cf(x)$依然是$E$上的可测函数；
2. $E$上的可测函数$f(x), g(x)$的和与差$f(x) \pm g(x)$依然是$E$上的可测函数；
3. $E$上的可测函数$f(x), g(x)$的实数倍$f(x) g(x)$依然是$E$上的可测函数。

可测函数的极限运算性质：设$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$是$E$上的可测函数序列，那么

1. $\sup_{k \geqslant 1} f_k(x), \inf_{k \geqslant 1} f_k (x)$是$E$上的可测函数；
2. $\limsup_{k \to \infty} f_k(x), \liminf_{k \to \infty} f_k (x)$是$E$上的可测函数；
3. 当$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$在$E$上收敛于$f(x)$时，$f(x)$是$E$上的可测函数。

可测集的性质

设$f(x)$是$E$上的可测函数，那么以下点集均是可测集：

1. $\{ x: f(x) = t \} = \{ x: f(x) \leqslant t \} \cap \{ x:f(x) \geqslant t \};$
2. $\{ x: f(x) < +\infty \} = \bigcup_{k=1}^\infty \{ x: f(x) < k \};$
3. $\{ x: f(x) = +\infty \} = E - \{ x: f(x) < +\infty \};$
4. $\{ x: f(x) > -\infty \} = \bigcup_{k=1}^\infty \{ x: f(x) > -k \};$
5. $\{ x: f(x) = -\infty \} = E - \{ x: f(x) > -\infty \}.$

另外，有如下诸多关于可测函数关于可测集的性质：

1. $E_k, k = 1,2,\cdots,n$上的可测函数在$\bigcup_{k=1}^\infty$依然可测，特别的对有限个可测的并也成立；
2. 零测集上的实值函数是可测函数，因此若两个函数在一个可测集上除了一零测集之外处处相等，那么一个可测可推出另一个可测；
3. 实数域的可测子集上的单调函数是可测函数；
4. 可测集$E$上的连续函数是可测函数；
5. 在$E$上可测的函数，在$E$的可测子集上依然可测；
6. 可测函数列的收敛点的原像集是可测集；
7. $E$上的实值函数$f(x)$是可测函数当且仅当$f(E)$上开集的原象是可测集。

简单函数

若定义在可测集$E$上的函数$f(x)$的值域$f(E)$是有限集，则称$f(x)$是$E$上的简单函数，例如 Dirichlet 函数是简单函数。

简单函数一定是可测函数，因此通常称其为简单可测函数。在$E$上分段取常值的简单函数称为阶梯函数。

对于简单函数，它可以逼近可测函数，即有如下的简单函数逼近定理：

1. 设$f$是$E$上的非负可测函数，则存在一列渐升非负简单函数列
   $$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty: f_1(x) \leqslant f_2(x) \leqslant \cdots \leqslant f_k(x) \leqslant \cdots$$
   使得
   $$\lim_{k \to \infty} f_k (x) = f(x), \quad x \in E.$$
2. 设$f$是$E$上的可测函数，则存在一列简单函数列$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty: |f_k(x)| \leqslant f(x)$使得
   $$\lim_{k \to \infty} f_k (x) = f(x), \quad x \in E.$$
   当$f_k(x)$有界时上述收敛是一致收敛。

复合函数的可测性

两个可测函数的复合不一定可测，可测函数的反函数也不一定是可测的。

1. 设$g$是$E \subseteq \R$上的可测函数，$f$是$g(E)$上的连续函数，那么$f \circ g$是$E$上的可测函数；
2. 设$g$是$[a, b]$上的有界可测函数，函数$f$在$f(E)$上单调，则$f \circ g$是$E$上的可测函数；
3. 设$T$是$\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$的可逆线性变换，$f$是$\R^n$上的可测函数，那么$f \circ T$是$\R^n$上的可测函数。

参考资料

1. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.