可数紧致空间

定义

假设拓扑空间$X$中任意可数开覆盖都有有限子覆盖，我们就称$X$是可数紧致空间。

性质

1. 紧空间都是可数紧致空间，反之未必，但是 Lindelof 的可数紧空间是紧致空间。
2. 每一个可数紧致空间是列紧空间，反过来未必，每一个$T_1$的列紧空间是可数紧致空间。
3. 每一个序列紧致空间是可数紧致空间，反之未必，$C_1$的可数紧致空间是序列紧致空间。
4. 可数紧致空间具有可商性：假设$f: X \to Y$连续，$X$是可数紧致空间，那么$f(X)$是可数紧致的。
5. 可数紧致空间具有可乘性：有限个可数紧致空间的乘积空间是可数紧致的。

等价性

假设$X$是$T_1$的第一可数空间，$A$是$X$的子集，那么以下命题等价：

1. $A$的每一个开覆盖有有限子覆盖。
2. $A$的每一个可数开覆盖有有限子覆盖。
3. $A$的每一个序列都有子列收敛到$A$中的点。
4. $A$的每一个无限子集都有$A$的聚点在$A$中。

在$\R^n$空间中，上述命题等价于$A$是有界闭集。

度量空间

在度量空间中，这些紧致性的概念是等价的：假设$X$是度量空间，那么

1. $X$是紧空间。
2. $X$是伪紧空间。
3. $X$是列紧空间。
4. $X$是可数紧致空间。
5. $X$是序列紧致空间。

参考资料

1. 熊金城, 《点集拓扑讲义（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.