可展曲面

在空間幾何中，可展曲面是一種特殊的直紋面，形象來理解是可以經過保距變換連續形變為平面的曲面。

定義

假設直紋面由向量值函數$\boldsymbol{r}(u, v) = \boldsymbol{a}(u) + v \boldsymbol{b}(u)$決定，另設$E, F, G$和$L,M,N$分別是曲面的第一基本形式和曲面的第二基本形式對應的係數，那麼直紋面的 Gauss 曲率是 $$K = - \dfrac{M^2}{EG-F^2} \leqslant 0.$$ Gauss 曲率為零的直紋面稱為可展曲面。

假設$\boldsymbol{r}(u, v)$是直紋面，那麼以下三款等價：

1. $\boldsymbol{r}(u, v)$是可展曲面；
2. 沿着直母線，直紋面的法方向不變；
3. $(\boldsymbol{a}', \boldsymbol{b}, \boldsymbol{b}') = 0.$

分類

柱面和錐面都是可展曲面；給定一條正則曲線，它在每一點處的切線的全體也構成一個直紋面，且是可展曲面，稱其為切線面。可以證明可展曲面只有上述三種。 判斷一個可展曲面是否為切線面的方法是：它不是柱面和錐面即可。由於可展曲面$\boldsymbol{r}(u, v) = \boldsymbol{a}(u) + v \boldsymbol{b}(u)$滿足 $$(\boldsymbol{a}'(u), \boldsymbol{b}(u), \boldsymbol{b}'(u)) = 0.$$ 當$\boldsymbol{b}(u), \boldsymbol{b}'(u)$線性相關時顯然它是柱面。下設$\boldsymbol{b}(u), \boldsymbol{b}'(u)$線性無關，並設 $$\boldsymbol{a}'(u) = \lambda(u) \boldsymbol{b}(u) + \mu(u) \boldsymbol{b}'(u).$$ 令$\boldsymbol{\hat{a}}(u) = \boldsymbol{a}(u) - \mu(u) \boldsymbol{b}(u).$那麼 $$\begin{align} \boldsymbol{\hat{a}}'(u) &= \boldsymbol{a}'(u) - \mu'(u) \boldsymbol{b}(u) - \mu(u) \boldsymbol{b}'(u) \\ &= (\lambda(u) - \mu'(u)) \boldsymbol{b}(u). \end{align}$$ 當$\boldsymbol{\hat{a}}'(u) = 0$即$\lambda(u) = \mu'(u)$時，$\boldsymbol{\hat{a}}(u)$是常向量，不妨設其為$\boldsymbol{a}_0$，那麼 $$\boldsymbol{r}(u, v) = \boldsymbol{a}_0 + (\mu(u)+v) \boldsymbol{b}(u).$$ 顯然是錐面。以下假設$\boldsymbol{\hat{a}}'(u) \ne 0$，因此 $$\boldsymbol{r}(u, v) = \boldsymbol{\hat{a}}(u) + \dfrac{\mu(u)+v}{\lambda(u)-\mu'(u)} \boldsymbol{\hat{a}}'(u).$$ 是切線面。

參考資料

1. 彭家貴, 陳卿, 《微分幾何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.

參考資料

1. 彭家貴, 陳卿, 《微分幾何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.