在空间几何中,可展曲面是一种特殊的直纹面,形象来理解是可以经过保距变换连续形变为平面的曲面。
定义[]
假设直纹面由向量值函数决定,另设和分别是曲面的第一基本形式和曲面的第二基本形式对应的系数,那么直纹面的 Gauss 曲率是
Gauss 曲率为零的直纹面称为可展曲面。
假设是直纹面,那么以下三款等价:
- 是可展曲面;
- 沿着直母线,直纹面的法方向不变;
分类[]
柱面和锥面都是可展曲面;给定一条正则曲线,它在每一点处的切线的全体也构成一个直纹面,且是可展曲面,称其为切线面。可以证明可展曲面只有上述三种。
判断一个可展曲面是否为切线面的方法是:它不是柱面和锥面即可。由于可展曲面满足
当线性相关时显然它是柱面。下设线性无关,并设
令那么
当即时,是常向量,不妨设其为,那么
显然是锥面。以下假设,因此
是切线面。
参考资料
- 彭家贵, 陈卿, 《微分几何(第2版)》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN
978-7-0405-6950-6
.
微分几何学(学科代码:1102745,GB/T 13745—2009) | |
---|---|
曲线论 | 曲线 ▪ 参数曲线 ▪ 正则曲线 ▪ 弧长参数 ▪ 曲率 ▪ 挠率 ▪ Frenet 标架 ▪ 向量积 ▪ 曲线论基本定理 ▪ 混合积 ▪ 渐屈线 ▪ 四顶点定理 ▪ 旋转指数定理 |
曲面局部理论 | 曲面 ▪ 曲面的第一基本形式 ▪ 曲面的第二基本形式 ▪ 曲面的第三基本形式 ▪ 法曲率 ▪ 主曲率 ▪ Gauss 曲率 ▪ Dupin 标线 ▪ Weingarten 变换 ▪ Riemann 度量 ▪ Gauss 方程和 Codazzi 方程 ▪ 曲面的正交标架 |
曲面整体理论 | Euler 示性数 ▪ Gauss-Bonnet 公式 ▪ 紧致曲面 ▪ 凸曲面 ▪ 完备曲面 ▪ 常 Gauss 曲率曲面(sine-Gordon 方程) ▪ Hilbert 定理 ▪ 常平均曲率曲面(Hopf 微分) ▪ 极小曲面 ▪ 稳定极小曲面 |
特殊类型曲面 | 直纹面(包括可展曲面,正螺面,切线面) ▪ 旋转面(包括柱面,锥面,伪球面,悬链面) ▪ 全脐点曲面 |
所在位置:数学(110)→ 几何学(11027)→ 微分几何学(1102745) |
参考资料
- 彭家贵, 陈卿, 《微分几何(第2版)》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN
978-7-0405-6950-6
.
微分几何学(学科代码:1102745,GB/T 13745—2009) | |
---|---|
曲线论 | 曲线 ▪ 参数曲线 ▪ 正则曲线 ▪ 弧长参数 ▪ 曲率 ▪ 挠率 ▪ Frenet 标架 ▪ 向量积 ▪ 曲线论基本定理 ▪ 混合积 ▪ 渐屈线 ▪ 四顶点定理 ▪ 旋转指数定理 |
曲面局部理论 | 曲面 ▪ 曲面的第一基本形式 ▪ 曲面的第二基本形式 ▪ 曲面的第三基本形式 ▪ 法曲率 ▪ 主曲率 ▪ Gauss 曲率 ▪ Dupin 标线 ▪ Weingarten 变换 ▪ Riemann 度量 ▪ Gauss 方程和 Codazzi 方程 ▪ 曲面的正交标架 |
曲面整体理论 | Euler 示性数 ▪ Gauss-Bonnet 公式 ▪ 紧致曲面 ▪ 凸曲面 ▪ 完备曲面 ▪ 常 Gauss 曲率曲面(sine-Gordon 方程) ▪ Hilbert 定理 ▪ 常平均曲率曲面(Hopf 微分) ▪ 极小曲面 ▪ 稳定极小曲面 |
特殊类型曲面 | 直纹面(包括可展曲面,正螺面,切线面) ▪ 旋转面(包括柱面,锥面,伪球面,悬链面) ▪ 全脐点曲面 |
所在位置:数学(110)→ 几何学(11027)→ 微分几何学(1102745) |