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在空间几何中,可展曲面是一种特殊的直纹面,形象来理解是可以经过保距变换连续形变为平面的曲面。

定义[]

假设直纹面向量值函数决定,另设分别是曲面的第一基本形式曲面的第二基本形式对应的系数,那么直纹面的 Gauss 曲率

Gauss 曲率为零的直纹面称为可展曲面

假设是直纹面,那么以下三款等价:

  1. 是可展曲面;
  2. 沿着直母线,直纹面的法方向不变;

分类[]

柱面锥面都是可展曲面;给定一条正则曲线,它在每一点处的切线的全体也构成一个直纹面,且是可展曲面,称其为切线面。可以证明可展曲面只有上述三种。

判断一个可展曲面是否为切线面的方法是:它不是柱面锥面即可。由于可展曲面满足

线性相关时显然它是柱面。下设线性无关,并设
那么
时,是常向量,不妨设其为,那么
显然是锥面。以下假设,因此
切线面

参考资料

  1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何(第2版)》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.

参考资料

  1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何(第2版)》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.
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