古典概型

古典概型是人们最早研究的一类概率问题，例如掷一次硬币，有正面朝上以及反面朝上两种结果，这就是一个古典概型问题，再比如在装有有限个不同颜色的球的袋子中随机摸出一个，球的颜色的情况，也是一个古典概型问题。

概念

对于一个随机现象，如果进行一次随机试验，实验所有可能结果是有限个：$\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_n$，这些事件互不相容，称作基础事件，且每个事件发生都是等可能的，我们称这样一种现象的数学模型是一个古典概型。古典概型在概率论发展的初期是研究的重点与基础，借助古典概型可以很方便地理解某些现代概率论的理论概念。

概率的古典定义

在概率的公理化之前，数学家就对各种概型的概率进行了定义，而在古典概型中也有概率的定义，这种定义最早由 Laplace 采用。它是说：一个古典概型的样本空间$\mathit{\Omega} = \{ \omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_n \}$，每个样本空间上的事件$A$都可以分解为若干个基础事件$\omega_{i_1}, \omega_{i_2}, \cdots, \omega_{i_m}$的和，这样

$$P(A) = P(\omega_{i_1}) + P(\omega_{i_2}) + \cdots + P(\omega_{i_m}) = \dfrac{m}{n}.$$

上式中的$m$相当于事件$A$包含的基本事件数，我们称作事件$A$有利场合数目，分母的$n$是所有结果数。于是这样就定义出了任何一个事件的概率。

上述概率的定义只在古典概型中有效，且和概率的公理化定义相容。

摸球模型

古典概型中一个重要且普遍的模型就是摸球模型，一类最简单的摸球模型是装有$n$个不同颜色的球（球的其它特征完全一样）的袋子中随机摸出某些球，试求某些事件发生的概率，实际生活中出现的很多古典概型问题都可以抽象为这个模型。

上下节

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• 下一节：几何概型

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.