变量分离方程

变量分离方程是一种特殊的一阶常微分方程，这一类方程可以通过将因变量和自变量完全分离，并对两侧同时积分解出。

情形1$:y' = P(x)$

对于

$$y' = P(x)$$

这一类方程只需对两边同时积分，即可求出通解

$$\int \mathrm{d}y = \int P(x) \mathrm{d}x$$

取右侧的一个原函数$B(x)$，有

$$y = B(x) + C$$

其中$C$为任意常数。

情形2$:y' = P(x) Q(y)$

形如

$$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = P(x) Q(y)$$

的方程，称为（一阶）变量分离方程。

当$Q(y) \ne 0$时，做变量分离，有

$$\dfrac{\mathrm{d}y}{Q(y)} = P(x) \mathrm{d}x$$

两边同时积分，有

$$\int \dfrac{\mathrm{d}y}{Q(y)} = \int P(x) \mathrm{d}x$$

取左侧的一个原函数$A(y)$以及右侧的一个原函数$B(x)$，有

$$A(y) = B(x) + C$$

其中$C$为任意常数。

这样我们就解出了原方程。另外满足$Q(y) = 0$的$y=y_0$经验证也是原方程的解。

因此，该方程的通解由两部分组成，至此我们完全解出了原方程。

情形3$:y' = f(ax+by+c)$

对于

$$y' = f(ax+by+c)$$

若$b=0$，则化为情形1， 若$b\neq 0$，做变量代换$u = ax+by+c$即化为情形2，注意到$u' = a+by'$，反表示出$y'$并带入原方程中，假设$f$连续且$a + b f(u) \ne 0$，那么就有

$$\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = a+bf(u)$$

分离变量，得

$$\dfrac{\mathrm{d}u}{a+bf(u)} = \mathrm{d}x$$

积分，得

$$\int \dfrac{\mathrm{d}u}{a+bf(u)} = x + C.$$

需要注意的是，对于一阶常微分方程，$y$是$x$的函数，引进变量代换$u$后，$u$也应视为$x$的函数，求导时要特别注意。例如，若做代换$u = xy$，那么对$x$求导后应为$u' = y + xy'.$

上下节

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• 下一节：一阶线性微分方程

参考资料

1. 王高雄, 周之铭, 朱思铭, 王寿松, 《常微分方程（第三版）》, 高等教育出版社, 北京, 1978-12, ISBN 978-7-0401-9366-4.