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在数学中,变差(variation)是一个衡量函数某种可微性质的概念。关于函数和测度的变差有著名的 Hahn-Jordan 分解

一维情形[]

定义在区间上,做一个分划,称以下数值

为函数上的变差,而
称为上的全变差(total variation),即取所有变差的上确界。如果
我们就说上的有界变差函数

测度情形[]

假设有可测空间上的符号测度,那么存在测度和有限测度使得

这里
上述分解称为的 Jordan 分解,这种分解是唯一的。

测度分别称为的上变差和下变差,而称为全变差,它们都是测度。

复测度情形[]

假设可测空间上有复测度的 R-N 导数,那么我们定义的全变差,选择适当的上的测度以及使得

并且我们称
的全变差。这里需要说明的是:上述定义虽然用到了,但是可以证明和它们的选择无关。

是实值测度时这个定义和借助 Hahn-Jordan 分解定义出全变差的概念等价。

等价定义[]

还有如下的等价定义,对

  1. 这里上的测度,

性质[]

假设可测空间上有复测度,那么

  1. 绝对连续,且 R-N 导数的模在可测的几乎处处意义下是1。
  2. 当且仅当
  3. 当且仅当

向量值测度情形[]

像数值测度有全变差那样,向量值测度也有(全)变差。同时数值测度有上下变差,向量值测度也有对应的半变差。

全变差[]

假设是向量值测度,,记分解为中有限个互不相交的集合的分割为,那么定义

上的(全)变差。如果,我们就称是有界变差测度。

如果是有界变差测度,那么上的数值测度。

半变差[]

假设是向量值测度,,定义

的半变差。如果,我们就称是半有界变差测度。

我们也希望用全变差中分割的方法描述半变差,这就得到半变差的下述等价定义:记分解为中有限个互不相交的集合的分割为,那么

半变差不是测度,但是它具有次可列可加性:

对任意可测集列成立
这里右端的级数表示范数收敛之极限

参考资料

  1. Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions(4th Ed.), Studies in Advanced Mathematics Vol.5, CRC Press, 1991, ISBN 978-0-8493-7157-8.
  2. 程士宏, 《测度论与概率论基础》, 北京大学出版社, 北京, 2006-06, ISBN 978-7-3010-6345-3.
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