在数学中,变差 (variation)是一个衡量函数某种可微性质的概念。关于函数和测度 的变差有著名的 Hahn-Jordan 分解 。
一维情形 [ ]
设
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
定义在区间
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上,做一个分划
Δ
:
a
=
x
0
<
x
1
<
x
2
<
⋯
<
x
n
=
b
{\displaystyle \Delta: a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b}
,称以下数值
v
Δ
=
∑
k
=
1
n
|
f
(
x
k
)
−
f
(
x
k
−
1
)
|
{\displaystyle v_\Delta = \sum_{k=1}^n | f(x_k) - f(x_{k-1}) |}
为函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上的
变差 ,而
⋁
a
b
(
f
)
:=
sup
v
Δ
.
{\displaystyle \bigvee_a^b (f) := \sup v_\Delta.}
称为
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上的
全变差 (total variation),即取所有变差的上确界。如果
⋁
a
b
(
f
)
<
+
∞
,
{\displaystyle \bigvee_a^b (f) < + \infty,}
我们就说
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
是
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上的
有界变差函数 。
测度情形 [ ]
假设有可测空间
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F})}
上的符号测度
φ
{\displaystyle \varphi}
,那么存在测度
φ
+
{\displaystyle \varphi^+}
和有限测度
φ
−
{\displaystyle \varphi^-}
使得
φ
=
φ
+
−
φ
−
.
{\displaystyle \varphi = \varphi^+ - \varphi^-.}
且
φ
+
=
φ
∗
,
φ
−
=
(
−
φ
)
∗
.
{\displaystyle \varphi^+ = \varphi^*, \varphi^- = (-\varphi)^*.}
这里
φ
∗
(
A
)
:=
sup
{
φ
(
B
)
:
B
⊂
A
,
B
∈
F
}
.
{\displaystyle \varphi^*(A) := \sup \{ \varphi(B): B \subset A, B \in \mathcal{F} \}.}
上述分解称为
φ
{\displaystyle \varphi}
的 Jordan 分解,这种分解是唯一的。
测度
φ
+
,
φ
−
{\displaystyle \varphi^+, \varphi^-}
分别称为
φ
{\displaystyle \varphi}
的上变差和下变差,而
|
φ
|
:=
φ
+
+
φ
−
{\displaystyle |\varphi| := \varphi^+ + \varphi^-}
称为全变差,它们都是测度。
复测度情形 [ ]
假设可测空间
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F})}
上有复测度
ν
{\displaystyle \nu}
,
f
{\displaystyle f}
是
ν
{\displaystyle \nu}
的 R-N 导数,那么我们定义
ν
{\displaystyle \nu}
的全变差 ,选择适当的
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F})}
上的测度
μ
{\displaystyle \mu}
以及
f
∈
L
1
(
X
,
μ
)
{\displaystyle f \in L^1(X, \mu)}
使得
ν
(
E
)
=
∫
E
f
d
μ
,
∀
E
∈
F
.
{\displaystyle \nu(E) = \int_E f \mathrm{d}\mu, \quad \forall E \in \mathcal{F}.}
并且我们称
|
ν
|
(
E
)
:=
∫
E
|
f
|
d
μ
.
{\displaystyle |\nu|(E) := \int_E |f| \mathrm{d}\mu.}
为
ν
{\displaystyle \nu}
的全
变差 。这里需要说明的是:上述定义虽然用到了
μ
,
f
{\displaystyle \mu, f}
,但是可以证明和它们的选择无关。
当
ν
{\displaystyle \nu}
是实值测度时这个定义和借助 Hahn-Jordan 分解 定义出全变差的概念等价。
等价定义 [ ]
|
ν
|
{\displaystyle |\nu|}
还有如下的等价定义,对
∀
E
∈
F
:
{\displaystyle \forall E \in \mathcal{F}:}
|
ν
|
(
E
)
=
sup
{
∑
i
=
1
n
|
ν
(
E
i
)
|
:
E
=
⋃
i
=
1
n
E
i
,
⋂
i
=
1
n
E
i
=
∅
,
n
⩾
N
}
.
{\displaystyle |\nu|(E) = \sup \left\{ \sum_{i=1}^n |\nu(E_i)|: E = \bigcup_{i=1}^n E_i, \bigcap_{i=1}^n E_i = \varnothing, n \geqslant \N \right\}.}
|
ν
|
(
E
)
=
sup
{
∑
i
=
1
∞
|
ν
(
E
i
)
|
:
E
=
⋃
i
=
1
∞
E
i
,
⋂
i
=
1
∞
E
i
=
∅
}
.
{\displaystyle |\nu|(E) = \sup \left\{ \sum_{i=1}^\infty |\nu(E_i)|: E = \bigcup_{i=1}^\infty E_i, \bigcap_{i=1}^\infty E_i = \varnothing \right\}.}
|
ν
|
(
E
)
=
sup
{
|
∫
E
f
d
μ
|
:
‖
f
‖
L
1
(
X
,
μ
)
⩽
1
}
.
{\displaystyle |\nu|(E) = \sup \left\{ \left|\int_E f \mathrm{d}\mu \right|: \| f \|_{L^1(X, \mu)} \leqslant 1 \right\}.}
这里
μ
{\displaystyle \mu}
是
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F})}
上的测度,
f
∈
L
1
(
X
,
μ
)
.
{\displaystyle f \in L^1(X, \mu).}
性质 [ ]
假设可测空间
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F})}
上有复测度
ν
,
μ
{\displaystyle \nu, \mu}
,那么
∀
E
∈
F
,
|
ν
(
E
)
|
⩽
|
μ
|
(
E
)
.
{\displaystyle \forall E \in \mathcal{F}, |\nu(E)| \leqslant |\mu|(E).}
ν
{\displaystyle \nu}
对
|
ν
|
{\displaystyle |\nu|}
绝对连续,且 R-N 导数
d
ν
d
|
ν
|
{\displaystyle \dfrac{\mathrm{d} \nu}{\mathrm{d} |\nu|}}
的模在
|
ν
|
{\displaystyle |\nu|}
可测的几乎处处意义下是1。
f
∈
L
1
(
ν
)
{\displaystyle f \in L^1(\nu)}
当且仅当
f
∈
L
1
(
|
ν
|
)
{\displaystyle f \in L^1(|\nu|)}
且
|
∫
E
f
d
ν
|
⩽
∫
E
|
f
|
d
|
ν
|
,
∀
f
∈
L
1
(
ν
)
.
{\displaystyle \left| \int_E f \mathrm{d}\nu \right| \leqslant \int_E |f| \mathrm{d}|\nu|, \quad \forall f \in L^1(\nu).}
|
ν
+
μ
|
⩽
|
ν
|
+
|
μ
|
.
{\displaystyle |\nu + \mu| \leqslant |\nu| + |\mu|.}
ν
=
|
ν
|
{\displaystyle \nu = |\nu|}
当且仅当
ν
(
X
)
=
|
ν
|
(
X
)
.
{\displaystyle \nu(X) = |\nu|(X).}
向量值测度情形 [ ]
像数值测度有全变差那样,向量值测度也有(全)变差。同时数值测度有上下变差,向量值测度也有对应的半变差。
全变差 [ ]
假设
F
:
R
→
X
{\displaystyle F: \mathcal{R} \to X}
是向量值测度,
E
∈
R
{\displaystyle E \in \mathcal{R}}
,记
E
{\displaystyle E}
分解为
R
{\displaystyle \mathcal{R}}
中有限个互不相交的集合的分割为
π
{\displaystyle \pi }
,那么定义
|
F
|
(
E
)
:=
sup
π
∑
A
∈
π
‖
F
(
A
)
‖
.
{\displaystyle |F|(E) := \sup_\pi \sum_{A \in \pi} \| F(A) \|.}
为
F
{\displaystyle F}
在
E
{\displaystyle E}
上的(全)变差。如果
|
F
|
(
Ω
)
<
+
∞
{\displaystyle |F|(\varOmega) < +\infty}
,我们就称
F
{\displaystyle F}
是有界变差测度。
如果
F
{\displaystyle F}
是有界变差测度,那么
|
F
|
{\displaystyle |F|}
是
R
{\displaystyle \mathcal{R}}
上的数值测度。
半变差 [ ]
假设
F
:
R
→
X
{\displaystyle F: \mathcal{R} \to X}
是向量值测度,
E
∈
R
{\displaystyle E \in \mathcal{R}}
,定义
‖
F
‖
(
E
)
:=
sup
{
|
f
∘
F
|
(
E
)
:
f
∈
X
∗
,
‖
f
‖
⩽
1
}
{\displaystyle \| F \|(E) := \sup\{ |f \circ F| (E): f \in X^*, \|f\| \leqslant 1 \}}
为
F
{\displaystyle F}
的半变差。如果
‖
F
‖
(
Ω
)
<
+
∞
{\displaystyle \|F\|(\varOmega) < +\infty}
,我们就称
F
{\displaystyle F}
是半有界变差测度。
我们也希望用全变差中分割的方法描述半变差,这就得到半变差的下述等价定义:记
E
{\displaystyle E}
分解为
R
{\displaystyle \mathcal{R}}
中有限个互不相交的集合的分割为
π
{\displaystyle \pi }
,那么
‖
F
‖
(
E
)
=
sup
π
{
‖
∑
A
n
∈
π
α
n
F
(
A
n
)
‖
:
‖
α
n
‖
⩽
1
}
.
{\displaystyle \|F\|(E) = \sup_\pi \left\{ \left\| \sum_{A_n \in \pi} \alpha_n F(A_n) \right\|: \| \alpha_n \| \leqslant 1 \right\}.}
半变差不是测度,但是它具有次可列可加性:
对任意可测集列
{
E
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{ E_n \}_{n=1}^\infty}
成立
‖
F
‖
(
⋃
n
=
1
∞
E
n
)
⩽
∑
n
=
1
∞
‖
F
‖
(
E
n
)
.
{\displaystyle \|F\| \left( \bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) \leqslant \sum_{n=1}^\infty \|F\|(E_n).}
这里右端的级数表示
{
∑
n
=
1
N
‖
F
‖
(
E
n
)
}
{\displaystyle \left\{ \sum_{n=1}^N \|F\|(E_n) \right\}}
按范数 收敛之极限 。
参考资料 Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions(4th Ed.) , Studies in Advanced Mathematics Vol.5 , CRC Press, 1991, ISBN 978-0-8493-7157-8
. 程士宏, 《测度论与概率论基础》, 北京大学出版社, 北京, 2006-06, ISBN 978-7-3010-6345-3
.