变分

在分析学中，一个泛函的变分是类似函数的导数定义出的概念，它被用来研究泛函达到极小值的充分必要条件，以导出 Euler-Lagrange 方程和 Legendre-Hadamard 条件等等。

我们重点讨论泛函$I$依赖于一个单变元函数$u$的简单情形。

泛函

假设求解泛函的函数空间为

$$M = \{ u \in C^1([t_0, t_1] \to U \subset \R^N): u(t_0) = P_0 \in U, u(t_1) = P_1 \in U \}$$

定义一个连续可微的函数

$$\begin{align} L: [t_0, t_1] \times U \times \R^N & \to \R, \\ (t, u, p) & \mapsto L(t, u, p). \end{align}$$

这里$p$一般代表$u$的导数。定义如下泛函

$$I(u) = \int_{t_0}^{t_1} L(t, u(t), u'(t)) \mathrm{d}t.$$

下面的讨论都是基于上面这个泛函进行的。

变分

取测试函数$\varphi \in C_0^1((t_0, t_1), \R^N)$，$C_0^1((t_0, t_1), \R^N)$为$C_0^\infty((t_0, t_1), \R^N)$在$C^1([t_0, t_1], \R^N)$中的闭包，假设$u^* \in M$且在它的一个邻域$V$（这里$V$是$u^*$按连续函数空间$C^1([t_0, t_1], U)$的拓扑的一个邻域）内泛函$I$有定义，且存在和$\varphi$有关的$\varepsilon_0 > 0$，使得当$0 < |\varepsilon| < \varepsilon_0$时$u^* + \varepsilon \varphi \in V$，这样我们可以定义

$$\begin{align} \delta I(u^*, \varphi) & := \left. \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varepsilon} I(u^* + \varepsilon \varphi) \right|_{\varepsilon = 0} \\ & = \lim_{\varepsilon \to 0} \dfrac{I(u^* + \varepsilon \varphi) - I(u^*)}{\varepsilon} \\ & = \int_{t_0}^{t_1} D_u L \cdot \varphi + D_p L \cdot \varphi' \mathrm{d}t. \end{align}$$

为泛函$I$在$u^*$沿$\varphi$的一阶变分，简称变分。

假设$u^*$是$I$在$M$上的极小值点，那么成立

$$I(u^*) \leqslant I(u), \quad \forall u \in M \cap V.$$

对任意的测试函数$\varphi \in C_0^1((t_0, t_1), \R^N)$均满足

$$I(u^* + \varepsilon \varphi) - I(u^*) \geqslant 0.$$

从而

$$\delta I(u^*, \varphi) \geqslant 0.$$

由此可导出极小值的必要条件——Euler-Lagrange 方程。

高阶变分

我们可以像定义高阶导数那样定义高阶变分，通常高阶变分都是函数张量，它的定义是：假设条件如上，

$$\delta^n I(u^*, \varphi) = \left. \dfrac{\mathrm{d^n}}{\mathrm{d}\varepsilon^n} I(u^* + \varepsilon \varphi) \right|_{\varepsilon = 0}$$

为泛函$I$在$u^*$沿$\varphi$的$\boldsymbol{n}$阶变分。

以二阶变分为例，我们可以定义

$$\begin{align} \delta I(u^*, \varphi) & := \left. \dfrac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}\varepsilon^2} I(u^* + \varepsilon \varphi) \right|_{\varepsilon = 0} \\ & = \lim_{\varepsilon \to 0} \dfrac{\delta I(u^* + \varepsilon \varphi, \varphi) - \delta I(u^*, \varphi)}{\varepsilon} \\ & = \int_{t_0}^{t_1} (A_{u^*} \varphi' \cdot \varphi' + 2B_{u^*} \varphi' \cdot \varphi + C_{u^*} \varphi \cdot \varphi) \mathrm{d}t \\ & = \int_{t_0}^{t_1} (\varphi', \varphi) \begin{pmatrix} A_{u^*} & B_{u^*} \\ B_{u^*} & C_{u^*} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \varphi' \\ \varphi \end{pmatrix} \mathrm{d}t. \end{align}$$

称为泛函$I$在$u^*$沿$\varphi$的二阶变分。这里函数矩阵记号

$$\begin{cases} A_u(t) = (L_{p_i p_j} (t, u(t), u'(t)))_{N \times N}, \\ B_u(t) = (L_{p_i u_j} (t, u(t), u'(t)))_{N \times N}, \\ C_u(t) = (L_{u_i u_j} (t, u(t), u'(t)))_{N \times N}. \end{cases}$$

如果$u^*$是内部的极小值点，那么对任意的测试函数必然有

$$\delta^2 I(u^*, \varphi) \geqslant 0.$$

当满足 Euler-Lagrange 方程的函数$u^*$满足如下正定性

$$\delta^2 I(u^*, \varphi) \geqslant \lambda \| \varphi \|_{H^1(t_0, t_1)}^2 = \lambda \int_{t_0}^{t_1} |\varphi|^2 + |\varphi'^2| \mathrm{d}t.$$

（常数$\lambda > 0$对$\varphi$一致）的时候，$u^*$是严格极小值点。

上述表达式均带有测试函数，经过一系列的推导可以去掉测试函数，这便是 Legendre-Hadamard 条件。

多元积分泛函的二阶变分

假设$\Omega \in \R^n$是有界区域，且边界$\partial \Omega \in C^1$，已知边界上的函数$\Phi \in C^1(\partial \Omega, \R^N)$，选择函数空间为

$$M := \{ u \in C^1(\overline{\Omega}, \R^N): u|_{\partial \Omega} = \Phi \}.$$

定义如下连续可微的函数

$$\begin{align} L: \overline{\Omega} \times \R^N \times \R^{n \times N} & \to \R, \\ (x, u, p) & \mapsto L(x, u, p), \end{align}$$

这个函数也被称为是 Lagrange 函数，定义泛函

$$I(u) := \int_\Omega L(x, u(x), Du(x)) \mathrm{d}x.$$

这里，如果$L, u$仅是 Lipschitz 连续的，从而是绝对连续的，那么积分泛函可以解释为 Lebesgue 积分。

在函数空间中我们给定的第一边值条件可以换为其他可能的边值条件，但要满足一定的相容性。 引入张量记号

$$\begin{cases} A_u(x) = (L_{p_\alpha^j p_\beta^k} (x, u(x), Du(x))), \\ B_u(x) = (L_{p_\alpha^j u^k} (x, u(x), Du(x))), \\ C_u(x) = (L_{u^j u^k} (x, u(x), Du(x))). \end{cases}$$

这里使用了 Einstein 矩阵记号。于是二阶变分

$$\delta^2 I(u, \varphi) = \int_\Omega (A_u D\varphi, D\varphi) + 2(B_uD\varphi, \varphi) + (C_u\varphi, \varphi) \mathrm{d}x.$$

参考资料

1. 张恭庆, 《变分学讲义》, 高等教育出版社, 北京, 2011-06, ISBN 978-7-0403-1958-3.