取整函數

Gauss 取整函數是一種常見的分段常數函數。其中最常用的是向下取整函數。

相關概念

向下取整函數，又稱地板（floor）函數，可以用$[x]$或$\lfloor x \rfloor$，它是指不超過$x$的最大整數，例如$\lfloor 1 \rfloor = 1, \lfloor 0.5 \rfloor = 0, \lfloor -1.2 \rfloor = -2.$

向上取整函數（取頂函數），又稱天花板（ceil）函數，可以用$\lceil x \rceil$表示，它是指不小於$x$的最小整數，如$\lceil 1.5 \rceil = 2.$

取小數函數被定義為$(x) = x - [x]$，它在整數點處取零，正數點處取它的小數部分。正數四捨五入近似的函數可以表示為$[x + 0.5].$

三角鋸齒函數可以藉由向下取整函數定義：$f(x) = (-1)^{[x]} \left| x - \left[ x + 0.5 \right] \right|$，它的最小正周期是2.

性質

1. 取整函數都不連續，所有整數點都是它們的跳躍間斷點，但它們具有半連續性。
2. 取整函數是單調遞增函數（非嚴格單調的）。
3. 取小數函數$(x) = x = [x]$是周期函數，且最小正周期為1。
4. 取整函數有關係$\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor = \begin{cases} 0, & x \in \N, \\ 1, & x \notin \N. \end{cases}$
5. $\sum_{k=0}^n \left[ x + \dfrac{k}{n} \right] = [nx], \forall x \in \R, n \in \N^+.$
6. $\sum_{k=0}^{n-1} \left( x + \dfrac{k}{n} \right) = (nx) + \dfrac{n-1}{2}, \forall x \in \R, n \in \N^+.$括號表示取小數函數。
7. 如果定義$\left\{ a_n := \int_0^1 \dfrac{f(nx)}{x} \mathrm{d}x \right\}_{n > 0}$（$f(x)$是上述定義的三角鋸齒函數），那麼$\{ a_{2n} \}$單調增加，$\{ a_{2n-1} \}$單調減少，$\{ a_n \}$有極限。

極限性質

由於存在恆等式

$$\begin{cases} 1 - x < x \left[ \dfrac{1}{x} \right] \leqslant 1, & x > 0, \\ 1 < x \left[ \dfrac{1}{x} \right] \leqslant 1 - x, & x < 0. \end{cases}$$

所以

$$\lim_{x \to 0} x \left[ \dfrac{1}{x} \right] = 1$$

這也導致

$$\lim_{x \to \infty} \dfrac{[x]}{x} = 1.$$

此外，如果實數列$\{ a_n \}_{n=1}^\infty$收斂於$a$，那麼$\lim_{n \to \infty} \dfrac{[n a_n]}{n} = a.$

進一步可以證明

$$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1+2+\cdots + [x]}{x^2} = \dfrac{1}{2}.$$