Gauss 取整函数是一种常见的分段常数函数。其中最常用的是向下取整函数。
相关概念[]
向下取整函数,又称地板(floor)函数,可以用
或
,它是指不超过
的最大整数,例如
向上取整函数(取顶函数),又称天花板(ceil)函数,可以用
表示,它是指不小于
的最小整数,如
取小数函数被定义为
,它在整数点处取零,正数点处取它的小数部分。正数四舍五入近似的函数可以表示为
三角锯齿函数可以借由向下取整函数定义:
,它的最小正周期是2.
性质[]
- 取整函数都不连续,所有整数点都是它们的跳跃间断点,但它们具有半连续性。
- 取整函数是单调递增函数(非严格单调的)。
- 取小数函数
是周期函数,且最小正周期为1。
- 取整函数有关系

![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left[x+{\dfrac {k}{n}}\right]=[nx],\forall x\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N} ^{+}.}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/83f93d5da003688c2150dc50a7b5a9e7e1f0fc2e)
括号表示取小数函数。
- 如果定义
(
是上述定义的三角锯齿函数),那么
单调增加,
单调减少,
有极限。
极限性质[]
由于存在恒等式
![{\displaystyle {\begin{cases}1-x<x\left[{\dfrac {1}{x}}\right]\leqslant 1,&x>0,\\1<x\left[{\dfrac {1}{x}}\right]\leqslant 1-x,&x<0.\end{cases}}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/afcdf73b5a9d6770f4e910b6c544e135d5ce93e8)
所以
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}x\left[{\dfrac {1}{x}}\right]=1}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/0b107f3019f489786ab79b2310fdadf101b427d7)
这也导致
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\dfrac {[x]}{x}}=1.}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/9df0399bec253135858d2f1cbd70dda32fa271a0)
此外,如果实数列

收敛于

,那么
进一步可以证明
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\dfrac {1+2+\cdots +[x]}{x^{2}}}={\dfrac {1}{2}}.}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/92d312a5c9b1cb0cc4c5adab1a6a72f85f80bab1)