取整函数

Gauss 取整函数是一种常见的分段常数函数。其中最常用的是向下取整函数。

相关概念

向下取整函数，又称地板（floor）函数，可以用$[x]$或$\lfloor x \rfloor$，它是指不超过$x$的最大整数，例如$\lfloor 1 \rfloor = 1, \lfloor 0.5 \rfloor = 0, \lfloor -1.2 \rfloor = -2.$

向上取整函数（取顶函数），又称天花板（ceil）函数，可以用$\lceil x \rceil$表示，它是指不小于$x$的最小整数，如$\lceil 1.5 \rceil = 2.$

取小数函数被定义为$(x) = x - [x]$，它在整数点处取零，正数点处取它的小数部分。正数四舍五入近似的函数可以表示为$[x + 0.5].$

三角锯齿函数可以借由向下取整函数定义：$f(x) = (-1)^{[x]} \left| x - \left[ x + 0.5 \right] \right|$，它的最小正周期是2.

性质

1. 取整函数都不连续，所有整数点都是它们的跳跃间断点，但它们具有半连续性。
2. 取整函数是单调递增函数（非严格单调的）。
3. 取小数函数$(x) = x = [x]$是周期函数，且最小正周期为1。
4. 取整函数有关系$\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor = \begin{cases} 0, & x \in \N, \\ 1, & x \notin \N. \end{cases}$
5. $\sum_{k=0}^n \left[ x + \dfrac{k}{n} \right] = [nx], \forall x \in \R, n \in \N^+.$
6. $\sum_{k=0}^{n-1} \left( x + \dfrac{k}{n} \right) = (nx) + \dfrac{n-1}{2}, \forall x \in \R, n \in \N^+.$括号表示取小数函数。
7. 如果定义$\left\{ a_n := \int_0^1 \dfrac{f(nx)}{x} \mathrm{d}x \right\}_{n > 0}$（$f(x)$是上述定义的三角锯齿函数），那么$\{ a_{2n} \}$单调增加，$\{ a_{2n-1} \}$单调减少，$\{ a_n \}$有极限。

极限性质

由于存在恒等式

$$\begin{cases} 1 - x < x \left[ \dfrac{1}{x} \right] \leqslant 1, & x > 0, \\ 1 < x \left[ \dfrac{1}{x} \right] \leqslant 1 - x, & x < 0. \end{cases}$$

所以

$$\lim_{x \to 0} x \left[ \dfrac{1}{x} \right] = 1$$

这也导致

$$\lim_{x \to \infty} \dfrac{[x]}{x} = 1.$$

此外，如果实数列$\{ a_n \}_{n=1}^\infty$收敛于$a$，那么$\lim_{n \to \infty} \dfrac{[n a_n]}{n} = a.$

进一步可以证明

$$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1+2+\cdots + [x]}{x^2} = \dfrac{1}{2}.$$