反比例函數

反比例函數是初中階段最基本的函數之一，一般式為$y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$，定義域和值域均為$\mathbb{R}\backslash\{0\}$.

單調性

1. $k>0$時函數在一三象限內單調遞減，反之亦然。
2. $k<0$時函數在二四象限內單調遞增，反之亦然。

圖像

反比例函數圖像是等軸雙曲線，漸近線為坐標軸。$k>0$時在一、三象限，$k<0$時在二、四象限。

以$k>0$為例證明：

• 設反比例函數為$y=\frac{k}{x}$. 將該函數圖像順時針旋轉$\frac{\pi}{4}$。
• 則對於新曲線，即由原函數圖像上所有的點$\left(x, \frac{k}{x}\right)$進行順時針旋轉$\frac{\pi}{4}$後所有點的變換的集合，由平面直角坐標系點的旋轉公式，其參數方程為：
• $\begin{cases} u=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y \\ v=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y \end{cases}$，即$u^2-v^2=2k$。
• 故反比例函數圖像是一個焦點為$(\sqrt{2k},\sqrt{2k}), (-\sqrt{2k},-\sqrt{2k})$，準線為$\sqrt{2}u\pm\sqrt{2}v=0$即$x=0,y=0$，焦距為$4\sqrt{k}$的等軸雙曲線。

同理$k<0$時是一個焦點為$(\sqrt{2k},-\sqrt{2k}),(-\sqrt{2k}, \sqrt{2k})$，準線為$x=0,y=0$，焦距為$4\sqrt{k}$的等軸雙曲線。

二級結論

從反比例函數上的點向坐標軸引垂線，圍成的矩形面積為$|k|$.

證明：設該點坐標$(x,\frac{k}{x})$，面積為$|x \cdot \frac{k}{x}| = |k|$