反比例函数是初中阶段最基本的函数之一,一般式为
,定义域和值域均为
.
单调性[]
时函数在一三象限内单调递减,反之亦然。
时函数在二四象限内单调递增,反之亦然。
图像[]
反比例函数图像是等轴双曲线,渐近线为坐标轴。
时在一、三象限,
时在二、四象限。
以
为例证明:
- 设反比例函数为
. 将该函数图像顺时针旋转
。
- 则对于新曲线,即由原函数图像上所有的点
进行顺时针旋转
后所有点的变换的集合,由平面直角坐标系点的旋转公式,其参数方程为:
,即
。
- 故反比例函数图像是一个焦点为
,准线为
即
,焦距为
的等轴双曲线。
同理
时是一个焦点为
,准线为
,焦距为
的等轴双曲线。
二级结论[]
从反比例函数上的点向坐标轴引垂线,围成的矩形面积为
.
证明:设该点坐标
,面积为