反幂法

在数值代数中，反幂法是求解一个非奇异方阵$A$的最小特征值的方法，它通过对矩阵$A^{-1}$应用幂法相同的思路得到，同时它还可以用来求某个矩阵和一给定的实数的模最接近的特征值。

方法

假设$n$阶非奇异实方阵$A$的特征值$\lambda_i$满足

$$|\lambda_1| \geqslant |\lambda_2| \geqslant \cdots \geqslant |\lambda_{n-1}| > |\lambda_n| > 0$$

且假设$\lambda_i$对应的特征向量为$x_i, i = 1,2,\cdots,n.$最小特征值为实数。

那么$A^{-1}$的特征值$\lambda_i^{-1}$对应的特征向量为$x_i.$$\lambda_n^{-1}$是$A^{-1}$按模最大的实特征值，对其应用幂法可求得$\lambda_n^{-1}, x_n.$

选择非零初始迭代向量$z_0$，反幂法的迭代格式为

$$A y_k = z_{k-1}, \quad m_k = \max(y_k), \quad z_k = y_k / m_k, k = 1,2,\cdots$$

这里$\max(y_k)$代表向量$y_k$中绝对值最大的那个分量（注意不是分量的绝对值），在解第一个线性方程组$A y_k = y_{k-1}$时可以将$A$作 LU 分解$A = LU$，然后解两个线性方程组

$$Lu_k = z_{k-1}, \quad Uy_k = u_k$$

得到。

应用

反幂法还可以用来求某个矩阵$A$和一给定的实数$a$的模最接近的特征值$\lambda_m$。这仅需注意到$A - aE_n$的最小特征值就是$\lambda_m - a$即可。然后对$A - aE_n$应用反幂法。

参考资料

1. 黄云清, 《数值计算方法》, 科学出版社, 北京, 2012-06, ISBN 978-7-0302-3428-5.