反常重积分

反常重积分是指积分区域是无界区域或积分函数为无界函数的重积分，它是一元积分学中反常积分的推广，在概率论中很常见。

概念

无穷限重积分

设函数$f(M)$在有连续边界的无界区域$\mathit{\Omega}$（$d(\mathit{\Omega}) = \max_{M, N \in \mathit{\Omega}} \rho(M, N) = +\infty$）上有定义，设对于任意的具有连续边界的有界区域$\mathit{\Omega}' \subset \mathit{\Omega}$，积分$\int_{\mathit{\Omega}'} f(M)\mathrm{d}\mathit{\Omega}$都是有限值。如果存在实数$I$，对任意$\varepsilon > 0$，存在$R > 0$，使得对于任意满足条件$\mathit{\Omega} \cap U(O, R) \subseteq \mathit{\Omega}' \subset \mathit{\Omega}$的具有有限边界的有界区域$\mathit{\Omega}'$都成立 $$\left| \int_{\mathit{\Omega}'} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega} - I \right| < \varepsilon$$ 我们就说函数$f(M)$在无界区域$\mathit{\Omega}$上可积，并记 $$\int_\mathit{\Omega} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega} = I.$$ 上述区域$\mathit{\Omega}'$是任意满足条件$\mathit{\Omega} \cap U(O, R) \subseteq \mathit{\Omega}' \subset \mathit{\Omega}$的区域，而不是某个特定区域，因此无穷限重积分的不能通过下述来定义： $$\lim_{M \to +\infty} \int_{\mathit{\Omega} \cap U(O, R)} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega}.$$

无界重积分

设函数$f(M)$在有连续边界的有界区域$\mathit{\Omega} - \{M_0\}, (M_0 \in \mathit{\Omega})$上有定义，设对于任意的与$M_0$有正距离的具有连续边界的有界区域$\mathit{\Omega}' \subset \mathit{\Omega}, \min_{x \in \mathit{\Omega}'} \rho(M_0, x) > 0$，积分$\int_{\mathit{\Omega}'} f(M)\mathrm{d}\mathit{\Omega}$都是有限值。如果存在实数$I$，对任意$\varepsilon > 0$，存在充分小的$\delta > 0$，使得对于任意满足条件$M_0 \in \mathit{\Omega}_0 \subseteq U(M_0, \delta)$的具有有限边界的有界区域$\mathit{\Omega}_0$都成立 $$\left| \int_{\mathit{\Omega} - \mathit{\Omega}_0} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega} - I \right| < \varepsilon$$ 我们就说函数$f(M)$在区域$\mathit{\Omega}$上广义可积，并记 $$\int_\mathit{\Omega} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega} = I.$$ 称$M_0$为该积分的一个瑕点。注意在瑕点处，函数的（至少某个路径）极限是无穷型造成的不存在。

上述区域$\mathit{\Omega}_0$是任意满足条件$M_0 \in \mathit{\Omega}_0 \subseteq U(M_0, \delta)$的区域，而不是某个特定区域，因此无界重积分的不能通过下述来定义： $$\lim_{\delta \to 0^+} \int_{\mathit{\Omega} - U(M_0, \delta)} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega}.$$ 以上是定义一个瑕点的情形，不难将它推广到有限个瑕点，也可以考虑瑕点在同一条曲线或一个曲面上的情形，但这时必须要求所有瑕点在实际函数的定义区域中不是一个圆邻域（例如，瑕点组成曲面至少要求是三重积分）。

Cauchy 收敛准则

无穷限重积分

设函数$f(M)$在有连续边界的无界区域$\mathit{\Omega}$上有定义，设对于任意的具有有限边界的有界区域$\mathit{\Omega}' \in \mathit{\Omega}$，积分$\int_{\mathit{\Omega}'} f(M)\mathrm{d}\mathit{\Omega}$都是有限值，那么无穷限重积分$\int_\mathit{\Omega} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega}$收敛的充要条件是：对任意$\varepsilon > 0$，存在$R > 0$，使得对于任意满足条件$\mathit{\Omega}_1 \subseteq \mathit{\Omega} - U(O, R)$的具有有限边界的有界区域$\mathit{\Omega}_1$都成立 $$\left| \int_{\mathit{\Omega}_1} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega} \right| < \varepsilon.$$

无界重积分

设函数$f(M)$在有连续边界的有界区域$\mathit{\Omega} - \{ M_0 \}$上有定义，$M_0 \in \mathit{\Omega}$是该积分的瑕点，设对于任意与$M_0$有正距离的具有有限边界的有界区域$\mathit{\Omega}' \in \mathit{\Omega}$，积分$\int_{\mathit{\Omega}'} f(M)\mathrm{d}\mathit{\Omega}$都是有限值，那么无界重积分$\int_\mathit{\Omega} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega}$收敛的充要条件是：对任意$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得对于任意满足条件$\mathit{\Omega}_1 \subseteq \mathit{\Omega} - U(M_0, \delta)$且与$M_0$有正距离的具有有限边界的有界区域$\mathit{\Omega}_1$都成立 $$\left| \int_{\mathit{\Omega}_1} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega} \right| < \varepsilon.$$

绝对收敛积分

在一元反常积分中，收敛于绝对收敛不等价，因此有条件收敛的概念。但在多元重积分中，可积与绝对可积等价，即

定理：若反常重积分$\int_\mathit{\Omega} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega}$收敛，那么$\int_\mathit{\Omega} |f(M)| \mathrm{d}\mathit{\Omega}$亦收敛，反之亦然。

这是反常重积分比一元反常积分性质更好的体现。正因为这个特性，所以才不会有像一元反常积分那样的 Abel 判别法和 Dirichlet 判别法。

Cauchy 判别法

在反常重积分中依旧有比较判别法，常用的是和幂函数作比较，即得到 Cauchy 判别法。

无穷限重积分

设$\int_\mathit{\Omega} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega}$是无界区域$\mathit{\Omega}$上的无穷限重积分，记$r = \rho(O, M)$，如果存在$N > 0$，当$r > N$时有 $$|f(M)| \leqslant \dfrac{c}{r^p}$$ 其中，$c > 0, p > 2$为常数，那么积分$\int_\mathit{\Omega} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega}$收敛。

无界重积分

设$\int_\mathit{\Omega} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega}$是有界区域$\mathit{\Omega}$上的无界重积分，$M_0$为该积分的瑕点。记$r = \rho(M, M_0)$，如果存在$\delta > 0$，当$r < \delta$时有 $$|f(M)| \leqslant \dfrac{c}{r^p}$$ 其中，$c > 0, p < 2$为常数，那么积分$\int_\mathit{\Omega} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega}$收敛。

上下节

• 上一节：重积分
• 下一节：含参变量的重积分

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.