反對稱矩陣

在線性代數中，反對稱變換是一類線性變換，而與之對應的反對稱矩陣亦是經常研究的一類矩陣。

定義

稱$A$是反對稱矩陣或斜對稱矩陣，如果$A^\text{T} = -A$，特別地，如果$A \in \R^{n \times n}$，就稱$A$是實反對稱矩陣。

設有實內積空間$V$，$\mathcal{A} \in L(V)$，那麼稱$\mathcal{A}$是反對稱變換，如果$\forall \alpha,\beta \in V, (\mathcal{A}\alpha, \beta) = - (\alpha, \mathcal{A}\beta)$。

$\mathcal{A}$是反對稱變換，當且僅當它在任意（或某一）標準正交基下的矩陣為反對稱矩陣。

性質

對 Euclid 空間$V$，以下總假設$\mathcal{A} \in L(V)$是實反對稱變換，$A$是$\mathcal{A}$在某一標準正交基下的矩陣。

• $A$的對角線上的元素全為$0$，進而$\operatorname{tr} A = 0$；
• $A - E$的秩是$n$；
• $\forall x\in V$，$x^\text{T}Ax = 0$；
• $A$的特徵多項式的根為$0$或純虛數，它們的和是$0$；
• $A$可以復相似對角化；
• 當$n$是奇數時$|A| = 0$；
• 如果$V_1 \leqslant V$是$\mathcal{A}$的不變子空間，那麼$V_1^\perp$也是$\mathcal{A}$的一個不變子空間；
• $A$的奇數次冪依然是反對稱矩陣，偶數次冪是對稱矩陣；
• $A^*$是反對稱的，當$A$可逆時$A^{-1}$也是反對稱的。

此外

• 任意一個實矩陣$C$都可表示為一個對稱矩陣$A$和一個反對稱矩陣$B$的和，且

$$A = \dfrac{1}{2} (C + C^\text{T}), \quad B = \dfrac{1}{2} (C - C^\text{T})$$

• 在$n$階矩陣的全體組成的線性空間$V$上，$n$階反對稱矩陣的全體組成了線性子空間$V_2 < V$，且$\dim V_2 = \dfrac{n(n-1)}{2}$。
• 上述的矩陣空間$V$可以直和分解，$V = V_1 \oplus V_2$，$V_1$是$n$階對稱矩陣的全體組成的線性空間，$V_2$是$n$階反對稱矩陣的全體組成的線性空間。
• 假設$A$是可逆的實反對稱矩陣，那麼$\begin{pmatrix}A&\alpha\\\alpha^\text{T}&0\end{pmatrix}$和$A$具有相同的秩。
• 假設$A$是可逆的實反對稱矩陣，那麼$\begin{vmatrix}A&\alpha\\\alpha^\text{T}&b\end{vmatrix} = |A|b.$
• 如果$A, B$都是反對稱的，那麼$AB - BA$也是反對稱的。

斜 Hermite 矩陣

斜 Hermite 矩陣是實反對稱矩陣在複數域上共軛轉置意義下的推廣，它是指滿足$\overline{A^\text{T}} = -A$的復矩陣，它的主對角線上的元素都是$0$或純虛數，其特徵值也是$0$或純虛數。

上下節

• 上一節：對稱矩陣
• 下一節：正交相似化簡

參考資料

1. 郭聿琦, 岑嘉評, 王正攀, 《高等代數教程》, 科學出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.