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线性代数中,反对称变换是一类线性变换,而与之对应的反对称矩阵亦是经常研究的一类矩阵。

定义[]

反对称矩阵斜对称矩阵,如果,特别地,如果,就称实反对称矩阵

设有实内积空间,那么称是反对称变换,如果

是反对称变换,当且仅当它在任意(或某一)标准正交基下的矩阵为反对称矩阵。

性质[]

Euclid 空间,以下总假设是实反对称变换,在某一标准正交基下的矩阵。

  • 的对角线上的元素全为,进而
  • 特征多项式的根为或纯虚数,它们的和是
  • 可以复相似对角化;
  • 是奇数时
  • 如果的不变子空间,那么也是的一个不变子空间;
  • 的奇数次幂依然是反对称矩阵,偶数次幂是对称矩阵
  • 是反对称的,当可逆时也是反对称的。

此外

  • 任意一个实矩阵都可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和,且

  • 阶矩阵的全体组成的线性空间上,阶反对称矩阵的全体组成了线性子空间,且
  • 上述的矩阵空间可以直和分解,阶对称矩阵的全体组成的线性空间,阶反对称矩阵的全体组成的线性空间。
  • 假设是可逆的实反对称矩阵,那么具有相同的秩。
  • 假设是可逆的实反对称矩阵,那么
  • 如果都是反对称的,那么也是反对称的。

斜 Hermite 矩阵[]

斜 Hermite 矩阵是实反对称矩阵在复数域上共轭转置意义下的推广,它是指满足的复矩阵,它的主对角线上的元素都是或纯虚数,其特征值也是或纯虚数。

上下节[]

参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.
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