反函数

数学中的反函数是集合间逆映射在数集上的体现。

概念

设函数$f$是由数集$D$到$S$的一个一一对应的函数，即 $$\begin{align} f: D & \to S \\ x & \mapsto y = f(x) \end{align}$$ 那么我们称如下的函数 $$\begin{align} g: S & \to D \\ y & \mapsto x = g(y) \end{align}$$ 称为$f$的反函数，记作$f^{-1} = g.$ 按照逆映射的相关理论，有$g(f(x)) = x, \forall x \in D, f(g(y)) = y, \forall y \in S.$

反函数存在定理

设函数$f(x)$在$x_0$点连续，在$x_0$点一个邻域内严格单调，$y_0 = f(x_0)$，则$f(x)$在$y_0$点附近可以确定一个唯一的反函数$f^{-1} (y).$

进一步，若设函数$f(x)$在$x_0$点可导，在$x_0$点一个邻域内严格单调，且$f'(x_0) \ne 0$。设 $y_0 = f(x_0)$，则反函数在$y_0$点可导且 $$(f^{-1})' (y_0) = \dfrac{1}{f'(x_0)} = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}.$$

常见函数的反函数

函数类型	$y=f(x)$	$x = f^{-1} (y)$
幂函数	$y = x^\alpha, \alpha \ne 0, x > 0$	$x = y^\frac{1}{\alpha}, y > 0$
指数函数-对数函数	$y = \text{e}^x, x \in \R$	$x = \ln y, y > 0$
正弦-反正弦	$y = \sin x, -\dfrac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{2}$	$x = \arcsin y, -1 \leqslant y \leqslant 1$
余弦-反余弦	$y = \cos x, 0 \leqslant x \leqslant \pi$	$x = \arccos y, -1 \leqslant y \leqslant 1$
正切-反正切	$y = \tan x, -\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}$	$x = \arctan y, y \in \R$
双曲正弦-反双曲正弦	$y = \sinh x = \dfrac{\text{e}^x - \text{e}^{-x}}{2}, x \in \R$	$x = \operatorname{arsinh} y = \ln \left( y + \sqrt{y^2+1} \right), y \in \R$
双曲余弦-反双曲余弦	$y = \cosh x = \dfrac{\text{e}^x + \text{e}^{-x}}{2}, x \geqslant 0$	$x = \operatorname{arcosh} y = \ln \left( y + \sqrt{y^2-1} \right), y \geqslant 1$
双曲正切-反双曲正切	$y = \tanh x = \dfrac{\text{e}^x - \text{e}^{-x}}{\text{e}^x + \text{e}^{-x}}, x \in \R$	$x = \operatorname{artanh} y = \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{1+y}{1-y} \right), y \in (-1, 1)$

上述函数可以推广到复变函数上去，只是此时带有根号以及对数符号的函数变成了多值函数。

积分换元

求反函数的导数我们在反函数存在定理中已有说明，求其不定积分一般使用到了分部积分法，此时也可先使用换元积分化为我们常见的函数，以下 $f^{-1} (x)$在积分存在区间上的可积反函数$x = f(y)$就是我们所做的换元。 $$\int _{a}^{b}f^{-1}(x)\mathrm {d} x=\int _{f^{-1}(a)}^{f^{-1}(b)}f^{-1}(f(y))\mathrm {d} f(y)=\int _{f^{-1}(a)}^{f^{-1}(b)}y\mathrm {d} f(y)=yf(y){\Bigg |}_{f^{-1}(a)}^{f^{-1}(b)}-\int _{f^{-1}(a)}^{f^{-1}(b)}f(y)\mathrm {d} y.$$ 这时，如果后式容易求出，最后带回变量就得到答案了。