反三角函数

6种反三角函数的图像，这里双曲余弦采用通常的微积分定义（见下表）

反三角函数是作为三角函数的反函数出现的。由于三角函数的周期性，它们的反函数并不是单值的，但是如果我们对实变量情形下的三角函数的定义域做限定，那么会得到单值的反函数。

定义

反三角函数可以用三角函数来定义，例如将正弦函数$y = \sin x$给定一个确定的$y_0 \in \R$，方程$\sin x = y_0$的解$x = x_0$就称作$y_0$的反正弦，记作$x_0 = \arcsin y_0.$当将$x$限制在$|x| \leqslant \dfrac{\pi}{2}$上时，便会得到单值的反正弦。

反三角函数中使用最多的是反正弦和反正切，其次是反余弦，对于其它三个反三角函数，则会由于定义不同出现不同的单值分支，尤其是反余切。它们可能对应了不同的分析性质以及代数性质，因此在相关问题上，我们总是设法避免使用后三个反三角函数。

对于每个函数的讨论详见具体的函数介绍页面，以下是结论。

名称	表示	定义域	值域	推荐形式
反正弦	$\arcsin x$	$[-1, 1]$	$\left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]$	--
反余弦	$\arccos x$	$[-1, 1]$	$[0, \pi]$	--
反正切	$\arctan x$	$\R$	$\left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right)$
反余切	$\operatorname {arccot} x$	$\R - \{ 0 \}$	$\left( -\dfrac{\pi}{2}, 0 \right) \cup \left(0, \dfrac{\pi}{2} \right)$	多种定义方式，微积分中一般选择$\arctan \dfrac{1}{x}$
反正割	$\operatorname {arcsec} x$	$(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$	$\left[ 0, \dfrac{\pi}{2} \right) \cup \left( \dfrac{\pi}{2}, \pi \right]$	微积分中一般选择$\arccos \dfrac{1}{x}$为其定义
反余割	$\operatorname {arccsc} x$	$(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$	$\left[ -\dfrac{\pi}{2}, 0 \right) \cup \left(0, \dfrac{\pi}{2} \right]$	微积分中一般选择$\arcsin \dfrac{1}{x}$为其定义

主要是前三个，后三个可以借由复合函数来定义。它们推广到复变函数的情形后都变为多值函数，详见复反三角函数。

在$x \in \R$的时候，选取如上实函数情形的定义，有关系式

$\arcsin x+\arccos x={\dfrac {\pi }{2}},\quad \operatorname {arcsec} x+\operatorname {arccsc} x={\dfrac {\pi }{2}}.$

但是，由于反余弦不同的定义，会导致不同的恒等式成立，在上述定义下有

$\arctan x+\operatorname {arccot} x={\dfrac {\pi }{2}}\operatorname {sgn}(x),x\neq 0.$

三角复合

在积分中，我们做了三角代换之后往往要回代变量，这时就会遇到代换为$x = \sin \theta$而要用$x$的函数表示$\cos \theta$的情形，这类问题可以使用三角形来辅助求解。

例如，假设如上，我们可以先作一个带有角度为$\theta$（对应的顶点为$A$）的直角三角形$ABC$，其中$C$为直角顶点，那么根据$\sin \theta = \dfrac{x}{1}$来假设该三角形中，斜边长为$1$，$A$所对的直角边长为$x$，由此可得另一直角边为$\sqrt{1-x^2}$，故此时$\cos \theta = \dfrac{\sqrt{1-x^2}}{1} = \sqrt{1-x^2}.$

注意，这还没结束。因为上述情形是用于锐角三角函数的，注意到$x$可能取负值，此时$\cos \theta$的表示结果只和如上我们讨论的相差一个符号问题，这时我们可以使用奇偶性来判断$f(x) = \cos (\arcsin x)$应有的对称原理，再添加合适的正负号，例如，此处$f(x)$应为偶函数，故在$x$为负数时也是$f(x) = \sqrt{1-x^2}.$

以上是方法，由此可以得到以下表格，注意此表不建议绝对记忆，而应着重记忆如上方法。除了三角形辅助求解外，还可画单位圆做三角函数线来分析，此处从略。

函数	$\sin \theta =$	$\cos \theta =$	$\tan \theta =$
$x = \sin \theta$	$x$	$\sqrt{1-x^2}$	$\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
$x = \cos \theta$	$\sqrt{1-x^2}$	$x$	$\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}$
$x = \tan \theta$	$\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$	$\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$	$x$

这里仅列出九个主要的，其余都可以转化为上面的情况。

微分

这里仅列出主要结果，它们导数的推导可以依照反函数求导法则完成。

$${\begin{aligned}&{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin x={\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},&&{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arccos x=-{\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\\&{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arctan x={\dfrac {1}{1+x^{2}}},&&{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arccot} x=-{\dfrac {1}{1+x^{2}}},\\&{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcsec} x={\dfrac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}},&&{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arccsc} x=-{\dfrac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}.\end{aligned}}$$

以上求导公式逆用（为凑微分）时不能在反三角函数没有定义的不连续点上进行，此外，这些函数的有限端点处的导数不存在。这些公式在复变场合依然成立（注意主值支的选取），因此也有用如上公式之逆——变限积分，来定义对应的反三角函数的。

积分

这里仅列出主要结果，它们求积分可以用三角代换和分部积分完成。以下我们给出了做三角代换的中间过程，便于推导（这绝不提倡直接记忆结果），$x$和$t$的关系是对应被积函数的反函数，如在第一个中就是$x = \sin t.$

$${\begin{aligned}&\int \arcsin x\mathrm {d} x=t\sin t-\cos t+C&&=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C.\\&\int \arccos x\mathrm {d} x=t\cos t+\sin t+C&&=x\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C.\\&\int \arctan x\mathrm {d} x=t\tan t+\ln |\cos t|+C&&=x\arctan x-{\dfrac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C.\\&\int \operatorname {arccot} x\mathrm {d} x=t\cot t-\ln |\sin t|+C&&=x\operatorname {arccot} x+{\dfrac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C.\\&\int \operatorname {arcsec} x\mathrm {d} x=t\sec t-\ln |\sec t+\tan t|+C&&=x\operatorname {arcsec} x-\ln |x+\operatorname {sgn}(x){\sqrt {x^{2}-1}}|+C.\\&\int \operatorname {arccsc} x\mathrm {d} x=t\csc t-\ln |\csc t-\cot t|+C&&=x\operatorname {arccsc} x+\ln |x-\operatorname {sgn}(x){\sqrt {x^{2}-1}}|+C.\\\end{aligned}}$$

级数展开

以下级数展开为泰勒级数）。

$$\begin{align} \arcsin x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} &&= x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots && \forall x:|x| \leqslant 1 \\[6pt] \arccos x &= \frac{\pi}{2} - \arcsin x \\ &= \frac{\pi}{2} - \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} &&= \frac{\pi}{2} - x - \frac{x^3}{6} - \frac{3x^5}{40} + \cdots && \forall x:|x| \leqslant 1 \\[6pt] \arctan x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} &&= x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots && \forall x:|x| \leqslant 1, x \neq \pm \text{i}, \\[6pt] \end{align}$$

注意到这些反函数均是多值的，因此考虑到复变情形时上述展开只是在主值支上的展开。后三个三角函数的展开是洛朗级数，仅需将上述对应的级数中以$\dfrac{1}{x}$代$x$即可得到。

参见

• 三角恒等式
• 三角函数
• 双曲函数
• 反双曲函数
• 三角积分
• 复指数函数