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线性代数中,在线性函数的基础上,我们可以定义双线性函数(bilinear function)。它在复数域上的推广是共轭双线性函数。这类函数对应了双线性型(特别地,在有限维空间中是二次型),因此可以使用代数的工具研究这类函数。

这类函数也是定义实内积的一种方式,特别是在有限维空间中,双线性函数可以给出一个表示矩阵,进而内积将会对应正定实对称矩阵

定义[]

是数域上的一个线性空间,映射具有下述性质:

那么称映射是线性空间上的一个双线性函数,一般情况下我们多考察的情形,在这个定义中一般是实数域,复数域上的双线性函数的推广一般指的是共轭双线性函数

我们把定义了双线性函数的线性空间也记作,在不引起混淆的情况下也简记为

例如,对于定义在上的矩阵线性空间,两个矩阵乘积的是其上的一个双线性函数。

表示矩阵[]

设有限维线性空间的一个基底是上的一个双线性函数,那么称

是这个双线性函数在基底下的表示矩阵(representation matrix)或称度量矩阵(matric matrix)。

从而我们可以知道,一个上的双线性函数和它的表示矩阵是一一对应的,即在一组特定基底下,

提供了一个从上的所有双线性函数组成的集合的一个双射(进而是同构映射)。

不同的基底[]

设基底过渡矩阵,同一个双线性函数在基底下的度量矩阵分别是,则它们是合同的,即存在下面的关系

特殊性质[]

非奇异性[]

是数域上的一个线性空间,为其上的一个双线性函数。如果有下面的条件成立

那么就称非奇异的(non-singular)。

通过证明,上述条件还等价于在任意一个(或某一个)基底下的度量矩阵是非奇异的(即矩阵的行列式非零),也等价于

与之相对地,我们可以定义奇异性(singularity),它由下面的条件给出

这也定价于在任意一个(或某一个)基底下的度量矩阵是奇异的(即矩阵的行列式为零)。

对称性[]

是数域上的一个线性空间,为其上的一个双线性函数。如果有下面的条件成立

那么就称对称的(symmetric)。定义对称性,必须要求定义在上。

可以证明,上述条件还等价于在任意一个(或某一个)基底下的度量矩阵是对称的(即)。

在对称双线性函数下,如果存在,使得,那么称正交的(orthogonal)。

赋范线性空间[]

假设赋范线性空间是双线性函数,且满足:

  1. 对任意固定的是连续的;
  2. 对任意固定的是连续的。

那么存在一个常数使得

证明如下:定义一个算子使得
如果我们可以证明是连续的,那么给定一个
下面证明的连续性,即证明中的有界集,根据共鸣定理的推论,只需证明对任意是有界集,而这件事情从是连续的这一条件中直接得到。

参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.
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