线性代数中,在线性函数的基础上,我们可以定义双线性函数(bilinear function)。它在复数域上的推广是共轭双线性函数。这类函数对应了双线性型(特别地,在有限维空间中是二次型),因此可以使用代数的工具研究这类函数。
这类函数也是定义实内积的一种方式,特别是在有限维空间中,双线性函数可以给出一个表示矩阵,进而内积将会对应正定的实对称矩阵。
定义[]
若
是数域
上的一个线性空间,映射
具有下述性质:


那么称映射
是线性空间
上的一个双线性函数,一般情况下我们多考察
的情形,在这个定义中
一般是实数域,复数域上的双线性函数的推广一般指的是共轭双线性函数。
我们把定义了双线性函数
的线性空间
也记作
,在不引起混淆的情况下也简记为
。
例如,对于定义在
上的矩阵线性空间,两个矩阵乘积的迹
是其上的一个双线性函数。
表示矩阵[]
设有限维线性空间
的一个基底是
,
是
上的一个双线性函数,那么称

是这个双线性函数在基底

下的
表示矩阵(representation matrix)或称
度量矩阵(matric matrix)。
从而我们可以知道,一个
上的双线性函数
和它的表示矩阵是一一对应的,即在一组特定基底
下,

提供了一个从

上的所有双线性函数组成的集合

到

的一个双射(进而是
同构映射)。
不同的基底[]
设基底
到
的过渡矩阵是
,同一个双线性函数
在基底
和
下的度量矩阵分别是
,则它们是合同的,即存在下面的关系

特殊性质[]
非奇异性[]
若
是数域
上的一个线性空间,
为其上的一个双线性函数。如果有下面的条件成立

那么就称

是
非奇异的(non-singular)。
通过证明,上述条件还等价于
在任意一个(或某一个)基底下的度量矩阵是非奇异的(即矩阵的行列式非零),也等价于

与之相对地,我们可以定义奇异性(singularity),它由下面的条件给出

这也定价于

在任意一个(或某一个)基底下的度量矩阵是奇异的(即矩阵的
行列式为零)。
对称性[]
若
是数域
上的一个线性空间,
为其上的一个双线性函数。如果有下面的条件成立

那么就称

是
对称的(symmetric)。定义对称性,必须要求

即

定义在

上。
可以证明,上述条件还等价于
在任意一个(或某一个)基底下的度量矩阵
是对称的(即
)。
在对称双线性函数下,如果存在
,使得
,那么称
是正交的(orthogonal)。
赋范线性空间[]
假设
是赋范线性空间,
是双线性函数,且满足:
- 对任意固定的
,
是连续的;
- 对任意固定的
,
是连续的。
那么存在一个常数
使得

证明如下:定义一个算子

使得

如果我们可以证明

是连续的,那么给定一个

,

下面证明

的连续性,即证明

是

中的有界集,根据
共鸣定理的推论,只需证明对任意

,

是有界集,而这件事情从

是连续的这一条件中直接得到。
参考资料