双曲抛物面

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在这里你将了解到有关空间曲面曲线以及空间变换的相关知识，希望你能收获更多！

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双曲抛物面（Hyperbolic paraboloid）或称马鞍面，是二次曲面的第Ⅱ类曲面的一种。

标准方程

双曲抛物面的标准方程是

$$\dfrac{x^2}{p} - \dfrac{y^2}{q} = 2z$$

其中，$p, q > 0$是该双曲抛物面的轴参数。原点称为该马鞍面的鞍点。

性质

以下均在双曲抛物面的标准方程中讨论。

• 对称性：双曲抛物面是无心二次曲面，它的对称轴$z$轴，是对称平面是$yOz, xOz$平面。
• 截面：$z = h~(h \geqslant 0)$截双曲抛物面所得的曲线是双曲线或一对相交直线，平行于$yOz, xOz$平面截双曲抛物面所得的曲线是抛物线。
• 直母线：双曲抛物面是直纹面，它的两族直母线方程是
  $\qquad\begin{cases} \left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b}\right) + 2 \lambda = 0, \\ z + \lambda \left(\dfrac{x}{a} - \dfrac{y}{b}\right) = 0. \end{cases}$以及$\begin{cases} \left(\dfrac{x}{a} - \dfrac{y}{b}\right) + 2 \lambda = 0, \\ z + \lambda \left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b}\right) = 0. \end{cases}$
• 它可以被认为是一条抛物线$\begin{cases} y^2 = -2qz \\ x = 0 \end{cases}$的顶点沿着另一条抛物线$\begin{cases} x^2 = 2pz \\ y = 0 \end{cases}$移动时扫过的曲面，如下图。
  

方程特点

二次曲面的一般方程是

$$F(x, y, z) = a_{11} x^2 + a_{22} y^2 + a_{33} z^2 + 2a_{12} xy + 2a_{13} xz + 2a_{23} yz + 2a_1 x + 2a_2 y + 2a_3 z + a_0 = 0$$

其中$a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{13}, a_{23}$不全为零。 当它是双曲抛物面时有$I_3 = 0, I_4 > 0.$

• 特征根：双曲抛物面有一个零特征根以及一正一负的特征根，标准方程下的特征根是$\dfrac{1}{p}, -\dfrac{1}{q}, 0$；
• 主方向：双曲抛物面有一个奇向以及两个非奇异主方向；
• 渐近方向：双曲抛物面的渐近方向在$z$轴上；
• 中心：$r = 2 < R = 3$，双曲抛物面是无心二次曲面；
• 主径面：双曲抛物面有两个主径面，标准方程下的主径面是$yOz, xOz$平面。

等轴双曲抛物面

方程是

$$z = kxy, \quad k \ne 0$$

的抛物面是等轴抛物面，因为作可逆的线性替换$\begin{cases} x' = x + y \\ y' = x - y \\ z' = z \end{cases}$后可以化为

$$x'^2 - y'^2 = 2pz', \quad p = \dfrac{1}{2k} \ne 0$$

这是双曲抛物面$p = q$的特殊情形。

这样的双曲面有着一种几何意义：它是到两异面直线距离相等的点的轨迹。

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