双曲恒等式

这里介绍一些有关双曲三角函数的恒等式，它们是三角函数的三角恒等式推广。

基本恒等式

归一恒等式

$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1, \quad \tanh^2 x + \operatorname{sech}^2 x = 1, \quad \coth^2 x - 1 = \operatorname{csch}^2 x.$

欧拉公式

$\text{e}^{x} = \cosh x + \sinh x, \quad \text{e}^{-x} = \cosh x - \sinh x.$

函数相互表示

双曲三角函数的相互表示可以根据基本恒等式和它们之间的相互定义来推出。

函数	sinh	cosh	tanh	coth	sech	csch
$\sinh x =$	$\sinh x$	$\operatorname {sgn}(x){\sqrt {\cosh ^{2}x-1}}$	$\dfrac{\tanh x}{\sqrt{1 - \tanh^2 x}}$	$\operatorname {sgn}(x){\dfrac {1}{\sqrt {\coth ^{2}x-1}}}$	$\dfrac{\sqrt{1 - \operatorname{sech}^2 x}}{\operatorname{sech} x}$	$\dfrac{1}{\operatorname{csch} x}$
$\cosh x =$	$\sqrt{1 + \sinh^2 x}$	$\cosh x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2 x}}$	$\dfrac{\coth x}{\sqrt{\coth^2 x - 1}}$	$\dfrac{1}{\operatorname{sech} x}$	$\operatorname {sgn}(x){\dfrac {\sqrt {\operatorname {csch} ^{2}x+1}}{\operatorname {csch} x}}$
$\tanh x =$	$\dfrac{\sinh x}{\sqrt{1 + \sinh^2 x}}$	$\operatorname {sgn}(x){\dfrac {\sqrt {\cosh ^{2}x-1}}{\cosh x}}$	$\tanh x$	$\dfrac{1}{\coth x}$	$\sqrt{1 - \operatorname{sech}^2 x}$	$\operatorname {sgn}(x){\dfrac {1}{\sqrt {\operatorname {csch} ^{2}x+1}}}$
$\coth x =$	$\dfrac{\sqrt{1 + \sinh^2 x}}{\sinh x}$	$\operatorname {sgn}(x){\dfrac {\cosh x}{\sqrt {\cosh ^{2}x-1}}}$	$\dfrac{1}{\tanh x}$	$\coth x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1 - \operatorname{sech}^2 x}}$	$\operatorname {sgn}(x){\sqrt {\operatorname {csch} ^{2}x+1}}$
$\operatorname{sech} x =$	$\dfrac{1}{\sqrt{1 + \sinh^2 x}}$	$\dfrac{1}{\cosh x}$	$\sqrt{1 - \tanh^2 x}$	$\dfrac{\sqrt{\coth^2 x - 1}}{\coth x}$	$\operatorname{sech} x$	$\operatorname {sgn}(x){\dfrac {\operatorname {csch} x}{\sqrt {\operatorname {csch} ^{2}x+1}}}$
$\operatorname{csch} x =$	$\dfrac{1}{\sinh x}$	$\operatorname {sgn}(x){\dfrac {1}{\sqrt {\cosh ^{2}x-1}}}$	$\dfrac{\sqrt{1 - \tanh^2 x}}{\tanh x}$	$\operatorname {sgn}(x){\sqrt {\coth ^{2}x-1}}$	$\dfrac{\operatorname{sech} x}{\sqrt{1 - \operatorname{sech}^2 x}}$	$\operatorname{csch} x$

和三角函数的关系

在复变函数情形，有 $$\begin{array}{rcl|rcl} \sinh z & = & -\text{i} \sin (\text{i}z) & \sin z & = & -\text{i} \sinh (\text{i}z) \\ \cosh z & = & \cos (\text{i}z) & \cos z & = & \cosh (\text{i}z) \\ \tanh z & = & -\text{i} \tan (\text{i}z) & \tan z & = & -\text{i} \tanh (\text{i}z). \end{array}$$ 详见复双曲三角函数，因此记忆下面的一些双曲恒等式时，仅需要记住如下原则就可，双曲恒等式不必绝对记忆，仅需对相应的三角恒等式作如下变形：将对应的三角函数变为双曲三角函数，并在平方正弦和带有平方正弦的表达式（例如正切、余切、余割）的前面添加负号即可，遇到正弦的四次幂，由于要添加两个负号，相互抵消。

例如基本恒等式： $$\begin{array}{r|l} \cos^2 x + \sin^2 x = 1 & \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \\ - \tan^2 x + \sec^2 x = 1 & \tanh^2 x + \operatorname{sech}^2 x = 1. \end{array}$$

和差角公式

以下和差角公式是最基本的三角恒等式之一，使用它可以推出倍半角公式。它的证明依照定义进行。

$\begin{align} \sinh (x \pm y) & = \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y, \\ \cosh (x \pm y) & = \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y, \\ \tanh (x \pm y) & = \dfrac{\tanh x \pm \tanh y}{1 \pm \tanh x \tanh y}, \\ \coth (x \pm y) & = \dfrac{\coth x \coth y \pm 1}{\coth x \pm \coth y}, \\ \operatorname{sech} (x \pm y) & = \dfrac{\operatorname{sech} x \operatorname{sech} y}{1 \pm \tanh x \tanh y}, \\ \operatorname{csch} (x \pm y) & = \dfrac{\operatorname{csch} x \operatorname{csch} y}{\coth x \pm \coth y}. \end{align}$

倍半角公式

二倍角公式

$\begin{align} \sinh 2x & = 2 \sinh x \cosh x, \\ \cosh 2x & = \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2 \cosh^2 x - 1 = 1 + 2\sinh^2 x, \\ \tanh 2x & = \dfrac{2 \tanh x}{1 + \tanh^2 x}, \\ \coth 2x & = \dfrac{\coth^2 x + 1}{2 \coth x}, \\ \operatorname{sech} 2x & = \dfrac{\operatorname{sech}^2x}{1+\tanh^2x} = \dfrac{\operatorname{sech}^2x}{2-\operatorname{sech}^2x}, \\ \operatorname{csch} 2x & = \dfrac{\operatorname{csch}^2x}{2\coth x} = \dfrac{1}{2}\operatorname{sech}x\operatorname{csch}x. \end{align}$

三倍角公式

$\begin{align} \sinh 3x & = 3 \sinh x + 4 \sinh^3 x, \\ \cosh 3x & = 4 \cosh^3 x - 3 \cosh x, \\ \tanh 3x & = \dfrac{3 \tanh x + \tanh^3 x}{1 + 3 \tanh^2 x}, \\ \coth 3x & = \dfrac{\coth^3 x + 3 \coth x}{3 \coth^2 x + 1}, \\ \operatorname{sech} 3x & = \dfrac{\operatorname{sech}^3 x}{4 - 3 \operatorname{sech}^2 x}, \\ \operatorname{csch} 3x & = \dfrac{\operatorname{csch}^3 x}{4 + 3 \operatorname{csch}^2 x}. \end{align}$

多倍角公式（直接注意到和角公式与二项式定理即可，可与三角函数情形类比）

$\begin{align} \sinh nx & = \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor} \binom{n}{2k+1} \sinh^{2k+1} x \cosh^{n-2k-1} x, \\ \cosh nx & = \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \binom{n}{2k} \sinh^{2k} x \cosh^{n-2k} x. \end{align}$

半角公式（涉及到半角公式不建议用双曲恒等式类比三角恒等式的记忆法则）

${\begin{aligned}\sinh {\frac {x}{2}}&=\operatorname {sgn}(x){\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}},\\\cosh {\frac {x}{2}}&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}},\\\tanh {\frac {x}{2}}&=\coth x-\operatorname {csch} x=\operatorname {sgn}(x){\sqrt {\dfrac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\dfrac {\sinh x}{1+\cosh x}}={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}},\\\coth {\frac {x}{2}}&=\operatorname {csch} x+\coth x=\operatorname {sgn}(x){\sqrt {\dfrac {\cosh x+1}{\cosh x-1}}}={\dfrac {\sinh x}{\cosh x-1}}={\frac {1+\cosh x}{\sinh x}},\\\operatorname {sech} {\frac {x}{2}}&={\sqrt {\frac {2\operatorname {sech} x}{\operatorname {sech} x+1}}},\\\operatorname {csch} {\frac {x}{2}}&=\operatorname {sgn}(x){\sqrt {\frac {2\operatorname {sech} x}{1-\operatorname {sech} x}}}.\end{aligned}}$

万能公式

若记$t = \tanh \dfrac{x}{2}$，根据二倍角公式及基本恒等式，有

$\begin{align} & \sinh x = \dfrac{2t}{1-t^2}, && \cosh x = \dfrac{1+t^2}{1-t^2}, \\ & \tanh x = \dfrac{2t}{1+t^2}, && \coth x = \dfrac{1+t^2}{2t}, \\ & \operatorname{sech} x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}, && \operatorname{csch} x = \dfrac{1-t^2}{2t}, \\ \end{align}$

和差化积与积化和差

和差化积公式

$\begin{align} \sinh x + \sinh y & = 2 \sinh\dfrac{x + y}{2} \cosh\dfrac{x - y}{2}, \\ \sinh x - \sinh y & = 2 \cosh\dfrac{x + y}{2} \sinh\dfrac{x - y}{2}, \\ \cosh x + \cosh y & = 2 \cosh\dfrac{x + y}{2} \cosh\dfrac{x - y}{2}, \\ \cosh x - \cosh y & = 2 \sinh\dfrac{x + y}{2} \sinh\dfrac{x - y}{2}. \end{align}$

积化和差公式

$\begin{align} \sinh x \sinh y & = \dfrac{\cosh(x+y) - \cosh(x-y)}{2}, \\ \cosh x \cosh y & = \dfrac{\cosh(x+y) + \cosh(x-y)}{2}, \\ \sinh x \cosh y & = \dfrac{\sinh(x+y) + \sinh(x-y)}{2}, \\ \cosh x \sinh y & = \dfrac{\sinh(x+y) - \sinh(x-y)}{2}. \end{align}$

可见如上恒等式也和三角形式类似，但全部没有变号。

参见

• 双曲三角函数
• 反双曲三角函数
• 双曲积分
• 三角函数
• 三角积分
• 三角恒等式
• 复指数函数