双曲三角函数

在数学中，双曲三角函数是仿照三角函数定义起来的一组函数，在实变量情形下，具有类似于三角函数的极限行为以及恒等关系，但是不具备周期性，因此双曲函数研究起来要比三角函数简单。但是在复变量情形下，双曲三角函数和三角函数之间只是转轴的差别，它们都统一为指数函数经过四则运算得到。

定义

双曲函数线

按照双曲函数的最初发现以及定义过程，原始朴素的双曲函数是通过类似于单位圆定义三角函数线的方法来定义双曲函数的，这里采用了双曲角（类似三角函数中的圆角）以及单位双曲线来定义双曲函数。

双曲角

一个双曲角的面积示例

双曲角是指，位于单位双曲线$x^2 - y^2 = 1$的右支上的一点$P$的双曲角$A$被定义为线段$OP$、双曲线与$P$同侧的半支、$x$轴正向所围成面积的二倍，该数值是一个面积量，当$P$位于$x$轴上方时，双曲角为正，下方为负。

我们要解决的第一个问题，是双曲角的定义域问题，因为双曲函数是依据双曲角进行定义的，双曲角的变化范围直接决定了双曲函数的最大定义域，实际上，我们将图像逆时针旋转$\dfrac{\pi}{2}$，最大的双曲角的大小应为$2 \int_0^{+\infty} \dfrac{1}{x} \mathrm{d}x$，这个积分发散到无穷，因此再由对称性，双曲角的变化范围变为$(-\infty, +\infty).$

与此同时，我们用双曲角的概念也将单位双曲线的右支参数化——建立了一个双曲线右支上的点与一个实数一一对应的关系，正如单位圆周上的点与其辐角在$[0, 2\pi)$的一一对应关系，进而将圆周参数化那样。

实变量双曲函数的定义

接下来我们用双曲角来引入双曲三角函数的朴素定义。

1. 定义双曲正弦$\sinh A$，是双曲角$A$对应的双曲线右支上的点$P$的垂直分量。
2. 定义双曲余弦$\cosh A$，是双曲角$A$对应的双曲线右支上的点$P$的水平分量。
3. 定义双曲正切$\tanh A$，是线段$OP$与直线$x=1$的交点的垂直分量。
4. 定义双曲余切$\coth A$，是线段$OP$与直线$y=1$的交点的水平分量。
5. 定义双曲正割$\operatorname{sech} A$，是过点$P$的双曲线的切线的水平截距。
6. 定义双曲余割$\operatorname{csch} A$，是过点$P$的双曲线的切线的垂直截距。

指数定义

经过对上述定义的进一步研究，可以发现某些规律，这些规律促使后来者对双曲函数给出另外的定义，并将该定义引入复变函数做准备工作。

双曲函数的指数定义是，设$z \in \C$，在下面的式子有意义的时候我们定义对应的双曲函数。

$$\begin{align} \sinh z & = \dfrac{\text{e}^{z} - \text{e}^{-z}}{2}, \\ \cosh z & = \dfrac{\text{e}^{z} + \text{e}^{-z}}{2}, \\ \tanh z & = \dfrac{\sinh z}{\cosh z} = \dfrac{\text{e}^z - \text{e}^{-z}} {\text{e}^{z} + \text{e}^{-z}}, \\ \coth z & = \dfrac{\cosh z}{\sinh z} = \dfrac{\text{e}^{z} + \text{e}^{-z}} {\text{e}^{z} - \text{e}^{-z}}, \\ \operatorname{sech} z & = \dfrac{1}{\cosh z} = \dfrac{2} {\text{e}^{z} + \text{e}^{-z}}, \\ \operatorname{csch} z & = \dfrac{1}{\sinh z} = \dfrac{2} {\text{e}^{z} - \text{e}^{-z}}. \end{align}$$

作为复变函数，它们在有定义的点处都是解析的，即无穷可微。它们都没有实周期，但有对应的复周期。这里主要介绍实变量函数的双曲函数，复变量函数详见复双曲三角函数。

双曲恒等式

双曲恒等式具有三角函数的某些特征，但是它还有更简单的意义。这里仅列出最常用的公式，详见双曲恒等式。 基本恒等式

$\text{e}^x = \cosh x + \sinh x, \text{e}^{-x} = \cosh x - \sinh x.$

归一恒等式

$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1, \tanh^2 x + \operatorname{sech}^2 x = 1, \coth^2 x - \operatorname{csch}^2 x = 1.$

和差角公式

$\begin{align} \sinh (x \pm y) & = \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y, \\ \cosh (x \pm y) & = \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y, \\ \tanh (x \pm y) & = \dfrac{\tanh x \pm \tanh y}{1 \pm \tanh x \tanh y}. \end{align}$

倍角公式

$\begin{align} \sinh 2x & = 2 \sinh x \cosh x, \\ \cosh 2x & = \cosh^2x+\sinh^2x = 2\cosh^2x-1 = 1+2\sinh^2x, \\ \tanh 2x & = \dfrac{2 \tanh x}{1+\tanh^2x}. \end{align}$

万能公式

$\sinh x = \dfrac{2 \tanh^2 \frac{x}{2}}{1 - \tanh^2 \frac{x}{2}}, \cosh x = \dfrac{1+\tanh^2 \frac{x}{2}}{1 - \tanh^2 \frac{x}{2}}, \tanh x = \dfrac{2\tanh \frac{x}{2}}{1 + \tanh^2 \frac{x}{2}}.$

按照双曲三角函数与对应三角函数的关系，双曲三角函数的有关双曲恒等式仅需将对应的三角恒等式中三角符号换为双曲符号，并将$\sin x$的平方项换为$\sinh x$的平方项之负即可。

导数与积分

这里列出最基本的结果。

$$\begin{align} & \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sinh x = \cosh x, && \int \sinh x \mathrm{d}x = \cosh x + C. \\ & \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cosh x = \sinh x, && \int \cosh x \mathrm{d}x = \sinh x + C. \\ & \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tanh x = \operatorname{sech}^2 x, && \int \tanh x \mathrm{d}x = \ln \cosh x + C. \\ & \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \coth x = - \operatorname{csch}^2 x, && \int \coth x \mathrm{d}x = \ln |\sinh x| + C. \\ & \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \operatorname{sech} x = - \tanh x \operatorname{sech} x, && \int \operatorname{sech} x \mathrm{d}x = \arctan (\sinh x) + C. \\ & \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \operatorname{csch} x = - \coth x \operatorname{csch} x, && \int \operatorname{csch} x \mathrm{d}x = \ln \left| \tanh \dfrac{x}{2} \right| + C. \\ \end{align}$$

由此可见，双曲函数的求导和积分和三角函数也有极大相似之处，可以对比记忆。

级数展开

$$\begin{align} \sinh x & = \sum^{\infty}_{n=0} \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} && = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots, && \forall x \in \C, \\ \cosh x & = \sum^{\infty}_{n=0} \dfrac{x^{2n}}{(2n)!} && = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots, && \forall x \in \C, \\ \tanh x & = \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} && = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} - \dfrac{17x^7}{315} + \cdots, && \forall x: |x| < \dfrac{\pi}{2}, \\ \coth x & = \dfrac{1}{x} + \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n}{(2n)!} x^{2n-1} && = \dfrac{1}{x} + \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} + \dfrac{2x^5}{945} + \cdots, && \forall x: 0 < |x| < \pi. \\ \operatorname{sech} x & = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} && = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} - \dfrac{61x^6}{720} + \cdots, && \forall x: |x| < \dfrac{\pi}{2}. \\ \operatorname{csch} x & = \dfrac{1}{x} + \sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1} B_{2n} (4^n - 2)}{(2n)!} x^{2n-1} && = \dfrac{1}{x} - \frac{x}{6} + \frac{7x^3}{360} - \dfrac{31x^5}{15120} + \cdots, && \forall x:0 < |x| < \pi. \\ \end{align}$$

其中，双曲余切和双曲余割为洛朗展式。

极限行为

由双曲正弦级数展开式可以得到$\sinh x \sim x, x \to 0$，这和正弦函数类似。

由双曲余弦级数展开式可以得到$\cosh x - 1 \sim \dfrac{x^2}{2}, x \to 0$，这和余弦函数类似。

由双曲正切级数展开式可以得到$\begin{align} &\tanh x \sim x, && x \to 0, \\ &x - \tanh x \sim \dfrac{1}{3}x^3, && x \to 0, \\ &\sinh x - \tanh x \sim \dfrac{1}{2}x^3, && x \to 0. \end{align}$这和正切函数类似。

反函数

详见反双曲三角函数。

参见

• 双曲恒等式
• 双曲积分
• 反双曲函数
• 三角函数
• 复指数函数
• 三角恒等式
• 三角积分