参数流形

参数流形是一种特殊的微分流形，它可以用一个同维空间内的开集的参数方程来表示。

概念

假设点集$S \subset \R^m$，自然数$0 < k < m$，若存在开集$D \subset \R^k$以及映射$F: D \to \R^m$满足

1. $F(D) = S$，且$F$是双射。
2. $F$作为向量值函数是可微的。
3. $\forall t \in D$，Jacobi 矩阵$J(F)(t)$的秩为$k.$
4. $F$的逆映射$F^{-1}: S \to \R^k$连续。

我们就称$S$为$\R^m$中的参数流形，它是一个$k$维微分流形，且称$F$是$S$的一个参数表示。

参数变换

显然上面这种参数表示不是唯一的。假设$F_1: D_1 \to S, G: D_2 \to S$是$S$的参数表示，令$G: F_2 \circ F_1: D_1 \to D_2$，由隐函数定理可得$G, G^{-1}$都是连续可微的。且 $$J(F_1)(t) = J(F_2)(u) \cdot J(G)(t), u = G(t), \quad \forall t \in D.$$ 我们把$G$称为$S$的参数表示$F_1, F_2$之间的参数变换。参数流形虽然参数表示不唯一，但不同的参数表示之间可以通过参数变换得到。

定向

像三维空间中存在不可定向的曲面（Möbius 带）那样无法作积分，我们也需要考虑高维参数流形的定向问题，积分只有在可定向的流形上才有意义。

假设同上，把$S$的所有参数表示分为两类，每一类中的参数表示的行列式都有相同的符号。不同类间的两个参数变换符号不同。选定其中一个子集作为正的参数定向，另一个子集中的参数变换定为负的参数定向。这样规定了方向的微分流形称为有向流形。

注意参数流形的定向和参变量的顺序有关。在三维空间里的曲面如果写为$f(x, y)$，它的定向$\boldsymbol{r}_x \times \boldsymbol{r}_y$和写为$g(y, x)$，它的定向$\boldsymbol{r}_y \times \boldsymbol{r}_x$的形象是不同的。

参数流形一定可定向，因为Jacobi 行列式不为零的条件就保证了这一点，因此我们不需要考虑不可定向的情形。

积分

我们现在给出参数流形的积分。 假设$U \subset \R^m$是开集，$0 < k < m$，$S \subset U$是由参数方程确定的有向$k$维微分流形，假设$D \subset \R^k$是具有连续边界的有界闭区域，$F: D \to U$是一个$S$的一个与其定向一致的参数表示，则我们可以定义具有可积系数的$\omega \in \varLambda^k(U)$在$S$上的积分是 $$\int_S \omega := \int_D F^*(\omega).$$ 这个积分值不依赖于流形$S$的参数表示。确切的说，就是如果$S$有另外一种与参数表示$F$同定向的参数表示$F_0: D_0 \to S$，那么一定存在可逆连续映射$G: D \to D_0$满足$G = F_0^{-1} \circ F: D \to D_0$，这样一来 $$\int_S \omega = \int_D F^*(\omega) = \int_D (F_0 \circ G)^*(\omega) = \int_D G^*(F_0^*(\omega)) = \int_{D_0} F_0^*(\omega).$$

拓扑同胚

两个拓扑同胚参数流形的积分之间有一定的关系，这正是如下定理表明的，类似于积分的变量替换。

假设$U \in \R^{m_1}, V \in \R^{m_2}$均为开集，$S \subset U, T \subset V$均是$k$维参数流形，其中$0 < k \leqslant m_1 \leqslant m_2$，假设$F: U \to V$是单射且连续可微（特别地它可以是可逆映射），其 Jacobi 矩阵的秩为$m_1$，且$G(S) = T.$那么对任意的可积$\omega \in \varLambda^k(V)$都有 $$\int_V \omega = \pm \int_U F^*(\omega).$$ 这里正负号的选取依据是当$F$把$S$的正向变为$T$的正向时为正，否则为负。