参数曲线

欢迎来到解析几何的平面几何部分！
在这里你将了解到有关平面曲线以及相关位置关系的相关知识，希望你能收获更多！

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曲线是数学中研究的一个重要的几何对象，对于一条曲线，虽然它有可能位于各种各样的空间中（例如平面、三维空间甚至是更高维的空间），但研究曲线的方法始终是降维。在某种程度上，曲线可以和一维的直线（线段）可以建立一个对应关系，这样我们可以通过研究它们之间的关系来间接研究曲线。

曲线的参数化

曲线可以被认为是一个一维对象，这样说的原因是，假设曲线位于 Euclid 空间$\R^d$中，这样的曲线可以由向量值函数

$$\begin{align} f: \R & \to \R^d \\ t & \mapsto \vec{x} \end{align}$$

得到，把它写成标量函数的形式，即为

$$x_i = f_i (t), \quad i = 1,2,\cdots,d.$$

于是，我们称上述参数形式的标量函数为该曲线的参数表示，其中$t$为参数，它的范围可以是实数集的任意子集。

例如，平面上的曲线可以由两个带有参数的方程刻画，最简单的一种就是由一元实函数$f(x)$直接确定的曲线（即函数图像）

$$\begin{cases} x = t, \\ y = f(t). \end{cases}$$

连续曲线

设$x(t), y(t)$是关于$t$的连续实函数，且$\alpha \leqslant t \leqslant \beta$（不必取等号），那么通过方程

$$\begin{cases} x = x(t), \\ y = y(t). \end{cases}$$

确定的一条参数曲线称为连续曲线，$\alpha, \beta$对应的点分别叫做曲线的起点和终点，如果这两个点重合，那么称这条曲线是闭曲线。

如果存在$\alpha < t_1 < \beta, \alpha \leqslant t_2 \leqslant \beta, t_1 \ne t_2$，满足$x(t_1) = x(t_2), y(t_1) = y(t_2)$，那么称点$(x(t_1), y(t_1))$为这条曲线的重点，没有重点的曲线称为简单曲线或 Jordan 曲线，例如线段、圆弧段都是简单曲线，圆是简单闭曲线。

光滑曲线

如果连续曲线

$$\begin{cases} x = x(t), \\ y = y(t), \end{cases} \quad \alpha \leqslant t \leqslant \beta$$

在$\alpha \leqslant t \leqslant \beta$上导数$x'(t), y'(t)$存在且连续、不全为零（特别地，在端点处是指单侧导数），我们就称这条曲线是光滑曲线。

如果一条曲线是由有限条光滑曲线拼接而成，那么这条曲线称为逐段光滑曲线。

曲线的长度

这里需要引入数学分析的定积分的概念研究曲线的长度。

设有有端曲线

$$\Gamma: \begin{cases} x = x(t), \\ y = y(t), \end{cases} \quad \alpha \leqslant t \leqslant \beta$$

，另有任一实数列

$$\alpha = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = \beta$$

设在曲线$\Gamma$上对应的点列是$\{ Q_k (x(t_k), y(t_k) \}_{k=0}^n$，如果极限

$$I_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \left| Q_k Q_{k-1} \right|$$

存在，那么就说曲线$\Gamma$可求长。 特别的，（逐段）光滑曲线一定是可求长的，对于一光滑曲线，它的长度为

$$s = \int_a^b \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)} \mathrm{d}t.$$

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