参数假设检验

在参数分布族$\mathcal{F} = \{ p_\theta(x): \theta \in \varTheta \}$场合下所做的关于参数$\theta$的假设检验问题，称为参数假设检验。这类问题一般可以记作 $$H_0: \theta \in \varTheta_0 \longleftrightarrow H_1: \theta \in \varTheta_1.$$ 这里$\varTheta_0, \varTheta_1$是$\varTheta$的两个互不相交的非空子集。

Neyman-Pearson 原则

在上面的过程中，我们选择控制犯第一类错误的概率不超过一个给定的常数$\alpha \in (0, 1)$，记参数$\theta$对应的第一类错误概率为$\alpha(\theta)$，那么 $$\sup_{\theta \in \varTheta_0} \alpha(\theta) \leqslant \alpha.$$ 在连续型随机变量的场合下，上面的等号一般是可以取到的，离散型场合下我们尽可能选择接近的数值。这时的检验称为显著性水平为$\alpha$的检验。

这时拒绝域的形式一般依赖于备择假设的形式。利用样本的观察值计算得出的检验统计量数值如果落入拒绝域便拒绝原假设，否则选择接受。

正态样本场合

一些对正态总体做参数假设检验的例子：U 检验、t 检验、χ² 检验、F 检验。对单组正态分布的样本进行假设检验的问题主要有：对均值的检验和对方差的检验。以下假设相互独立的样本$X_1, X_2, \cdots, X_n \sim N(\mu, \sigma^2).$且$\mu_0 \in \R, \sigma_0^2 > 0$是常数，检验水平为$\alpha \in (0, 1).$

情形	检验问题	检验统计量及分布	拒绝域$W$
单组正态样本均值的假设检验
$\sigma^2$已知	$H_0: \mu = \mu_0 \longleftrightarrow H_1: \mu \ne \mu_0$	$\begin{align} U &= \dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \\ U|H_0 &\sim N(0, 1) \end{align}$	$|U| \geqslant u_{\alpha/2}$
	$H_0: \mu \leqslant \mu_0 \longleftrightarrow H_1: \mu > \mu_0$		$U \geqslant u_\alpha$
	$H_0: \mu \geqslant \mu_0 \longleftrightarrow H_1: \mu < \mu_0$		$U \leqslant u_{1-\alpha}$
$\sigma^2$未知	$H_0: \mu = \mu_0 \longleftrightarrow H_1: \mu \ne \mu_0$	$\begin{align} T &= \dfrac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} \\ T|H_0 &\sim t_{n-1} \end{align}$	$|T| \geqslant t_{n-1}(\alpha/2)$
	$H_0: \mu \leqslant \mu_0 \longleftrightarrow H_1: \mu > \mu_0$		$T \geqslant t_{n-1}(\alpha)$
	$H_0: \mu \geqslant \mu_0 \longleftrightarrow H_1: \mu < \mu_0$		$T \leqslant t_{n-1}(1-\alpha)$
单组正态样本方差的假设检验
$\mu$已知	$H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2 \longleftrightarrow H_1: \sigma^2 \ne \sigma_0^2$	$\begin{align} \Chi_\mu^2 &= \dfrac{n S_\mu^2}{\sigma_0^2} \\ \Chi_\mu^2|H_0 &\sim \chi^2_n \end{align}$	$\Chi_\mu^2 \leqslant \chi^2_n(1-\alpha/2) \text{ or } \Chi_\mu^2 \geqslant \chi^2_n(\alpha/2)$
	$H_0: \sigma^2 \leqslant \sigma_0^2 \longleftrightarrow H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2$		$\Chi_\mu^2 \geqslant \chi^2_n(\alpha)$
	$H_0: \sigma^2 \geqslant \sigma_0^2 \longleftrightarrow H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2$		$\Chi_\mu^2 \leqslant \chi^2_n(1-\alpha)$
$\mu$未知	$H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2 \longleftrightarrow H_1: \sigma^2 \ne \sigma_0^2$	$\begin{align} \Chi^2 &= \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \\ \Chi^2|H_0 &\sim \chi^2_{n-1} \end{align}$	$\Chi^2 \leqslant \chi^2_{n-1}(1-\alpha/2) \text{ or } \Chi^2 \geqslant \chi^2_{n-1}(\alpha/2)$
	$H_0: \sigma^2 \leqslant \sigma_0^2 \longleftrightarrow H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2$		$\Chi^2 \geqslant \chi^2_{n-1}(\alpha)$
	$H_0: \sigma^2 \geqslant \sigma_0^2 \longleftrightarrow H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2$		$\Chi^2 \leqslant \chi^2_{n-1}(1-\alpha)$

双样本的正态假设检验问题详见 Behrens-Fisher 问题/假设检验。

指数分布情形

注意到若随机变量$X \sim \text{Exp}(\lambda)$，那么$2\lambda n \overline{X} \sim \chi^2_{2n}$这一事实可以对指数分布的样本进行假设检验。

1. 假设有服从参数分布族$\text{Exp}(\lambda)$的总体$X$，给定实数$\lambda_0$，运用似然比检验法可得如下检验问题及其对应的检验水平为$\alpha$的拒绝域：
   $$\begin{align} H_0: \lambda \geqslant \lambda_0 & \longleftrightarrow H_1: \lambda < \lambda_0, && W = \{ 2n\overline{X} \leqslant \lambda_0 \chi^2_{2n}(1-\alpha) \}, \\ H_0: \lambda \leqslant \lambda_0 & \longleftrightarrow H_1: \lambda > \lambda_0, && W = \{ 2n\overline{X} \geqslant \lambda_0 \chi^2_{2n}(\alpha) \}, \\ H_0: \lambda = \lambda_0 & \longleftrightarrow H_1: \lambda \ne \lambda_0, && W = \{ 2n\overline{X} \leqslant \lambda_0 \chi^2_{2n}(1-\alpha/2) \text{ or } 2n\overline{X} \geqslant \lambda_0 \chi^2_{2n}(\alpha/2) \}. \end{align}$$
   这是 Χ² 检验。
2. 双样本的指数参数分布族的检验：假设样本$X_1, X_2, \cdots, X_m$取自总体$\text{Exp}(\lambda_1)$，样本$Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$取自总体$\text{Exp}(\lambda_2)$，它们是相互独立的，这里$\lambda_1, \lambda_2$未知，检验统计量为$T = \dfrac{\overline{Y}}{\overline{X}}.$如下的检验问题及其对应的检验水平为$\alpha$的拒绝域分别是
   $$\begin{align} H_0: \lambda_1 \geqslant \lambda_2 & \longleftrightarrow H_1: \lambda_1 < \lambda_2, && W = \{ T \leqslant F_{2n,2m}(1-\alpha) \}, \\ H_0: \lambda_1 \leqslant \lambda_2 & \longleftrightarrow H_1: \lambda_1 > \lambda_2, && W = \{ T \geqslant F_{2n,2m}(\alpha) \}, \\ H_0: \lambda_1 = \lambda_2 & \longleftrightarrow H_1: \lambda_1 \ne \lambda_2, && W = \{ T \leqslant F_{2n,2m}(1-\alpha/2) \text{ or } T \geqslant F^2_{2n,2m}(\alpha/2) \}. \end{align}$$
   这是 F 检验。
3. 仅带位移参数的分布族的假设检验：假设有服从仅带有位移的指数分布$p(x, a) = \text{e}^{-(x-a)}, x > a$，其中参数$a \in \R$，$a_0$是已知的实数，如下的检验问题$$H_0: a = a_0 \longleftrightarrow H_1: a \ne a_0$$对应的检验水平为$\alpha$的拒绝域是$$W = \left\{ X_{(1)} \geqslant a_0 - \dfrac{\ln \alpha}{n} \right\}.$$

均匀分布情形

对均匀分布的假设检验问题可以使用似然比检验得到。

参数空间$\varTheta = \{\theta: \theta > 0 \}$上的均匀分布族$U(0, \theta)$，给定$\theta_0 > 0$，那么检验水平为$\alpha$的如下检验问题 $$H_0: \theta \leqslant \theta_0 \longleftrightarrow H_1: \theta > \theta_0$$ 的似然比检验和一致最优检验的拒绝域都是 $$W = \{ X_{(n)} \geqslant \theta_0 \sqrt[n]{1-\alpha} \}.$$

参考资料

1. 韦来生, 《数理统计（第二版）》, 科学出版社, 北京, 2015-12, ISBN 978-7-0304-6573-3.