原子化測度空間

在測度論中，原子化測度空間（atomic measure space）是一類特殊的空間，其中存在著類似單點集測度非零的集合。原子一名來源於測度空間形成的測度代數（作為 Bool 代數時其上按照序關係規定的原子概念，不過這裡不同的是我們無法描述「最小性質」，後面我們會指出在 Borel 代數上原子的概念就和非零測度的單點集沒有差別了）。

定義

假設有測度空間/符號測度空間$(X, \mathcal{F}, \mu)$，如果存在可測集$A \subset X$使得$\mu (A)\neq 0$且對任意可測子集$B \subset A$，$\mu (B)$要麼是零，要麼等於$\mu (A)$，那麼我們就稱$A$是$(X, \mathcal{F}, \mu)$的一個原子（atom）。如果$(X, \mathcal{F}, \mu)$中不存在任何原子，我們就稱其為缺原子的（nonatomic）。

對於一個 σ有限測度空間$(X, \mathcal{F}, \mu)$而言，$A=\{x\in X:\mu (x)\neq 0\}$的集合至多可數，如果$\mu (X\setminus A)=0$，我們就稱$X$是（純）原子的（purely atomic）。一般測度空間的純原子比較難以定義。展開例子摺疊例子

1. $\R^n$連同 Lebesgue 測度構成的測度空間是缺原子的。
2. 任意可數集合$X$連同計數測度構成的測度空間是純原子的。

測度變化的連續性

在非原子化（符號）測度空間中，（符號）測度是「連續」變化的，這是指

如果$(X, \mathcal{F}, \mu)$是缺原子的（符號）測度空間，那麼對任意的可測集$E$及其可測子集$F$，以及任意滿足$\mu (F)\leqslant t\leqslant \mu (E)$的$t$，必然存在可測集$G_t$使得$\mu (G_{t})=t.$進一步如果假設$\mu$的正部和負部分別是$\mu ^{+},\mu ^{-}$，那麼對任意$t\in [-\mu ^{-}(X),\mu ^{+}(X)]$存在可測集$G_t$使得$\mu (G_{t})=t.$

測度分解

下面這個結果是 Lebesgue 分解的直接推論：

假設$\psi, \varphi$是可測空間$(X, \mathcal{F})$上的 σ有限的符號測度，那麼存在唯一的$\psi _{1},\psi _{2},\psi _{3}$使得

1. $\psi _{1}+\psi _{2}+\psi _{3}=\psi .$
2. $\psi_1$對$\varphi$絕對連續。
3. $\psi_2$是純原子測度。
4. $\psi_3$關於$\varphi$奇異，且對任意$x \in X$有$\psi _{3}(\{x\})=0.$

關於這個定理/命題的證明，單擊這裡以顯示/摺疊

由 Lebesgue 分解定理，存在$\psi _{1},\psi _{0}$滿足

1. $\psi _{1}+\psi _{0}=\psi .$
2. $\psi_1$對$\varphi$絕對連續。
3. $\psi_0$關於$\varphi$奇異。

令$C:=\{x\in X:\psi _{0}(\{x\})\neq 0\}$，假設$X = \bigcup_{n=1}^\infty X_n$且$\varphi (X_{n})<+\infty$，在每個集合$C\cap X_{n}$上由於$\mu$的有限性得到$C\cap X_{n}$至多可列，因此$C$是可數集。令 $$\psi _{2}(E)=\psi _{0}(C\cap E),\quad \psi _{3}=\psi _{0}(E\setminus C),\quad \forall E\in {\mathcal {F}}.$$ 這樣就得到符合條件的分解，且由$C$的定義方式可的唯一性。

單點性質

「原子」只是說明了測度的不連續變化的性質，並未具體給出到底是哪個/哪些點引起的，下面我們將指出在一定條件下原子可以等同於單點測度非零的那些單點集。

假設$X = \R^n$，${\mathcal {B}}_{\mathbb {R} ^{n}}$是$X$上的 Borel 集全體，$\mu$是$X$上的有限測度，那麼對任意作為原子的 Borel 集$S$總存在單點$x_0 \in S$使得$\mu (S\setminus \{x_{0}\})=0.$