中文数学 Wiki
Advertisement

在测度论中,原子化测度空间(atomic measure space)是一类特殊的空间,其中存在着类似单点集测度非零的集合。原子一名来源于测度空间形成的测度代数(作为 Bool 代数时其上按照序关系规定的原子概念,不过这里不同的是我们无法描述“最小性质”,后面我们会指出在 Borel 代数上原子的概念就和非零测度的单点集没有差别了)。

定义[]

假设有测度空间/符号测度空间,如果存在可测集使得且对任意可测子集要么是零,要么等于,那么我们就称的一个原子(atom)。如果中不存在任何原子,我们就称其为缺原子的(nonatomic)。

对于一个 σ有限测度空间而言,的集合至多可数,如果,我们就称是(纯)原子的(purely atomic)。一般测度空间的纯原子比较难以定义。展开例子折叠例子

  1. 连同 Lebesgue 测度构成的测度空间是缺原子的。
  2. 任意可数集合连同计数测度构成的测度空间是纯原子的。

测度变化的连续性[]

在非原子化(符号)测度空间中,(符号)测度是“连续”变化的,这是指

如果是缺原子的(符号)测度空间,那么对任意的可测集及其可测子集,以及任意满足,必然存在可测集使得进一步如果假设的正部和负部分别是,那么对任意存在可测集使得

测度分解[]

下面这个结果是 Lebesgue 分解的直接推论:

假设可测空间上的 σ有限的符号测度,那么存在唯一的使得
  1. 绝对连续。
  2. 是纯原子测度。
  3. 关于奇异,且对任意
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
Lebesgue 分解定理,存在满足
  1. 绝对连续。
  2. 关于奇异。

,假设,在每个集合上由于的有限性得到至多可列,因此是可数集。令

这样就得到符合条件的分解,且由的定义方式可的唯一性。

单点性质[]

“原子”只是说明了测度的不连续变化的性质,并未具体给出到底是哪个/哪些点引起的,下面我们将指出在一定条件下原子可以等同于单点测度非零的那些单点集。

假设上的 Borel 集全体,上的有限测度,那么对任意作为原子的 Borel 集总存在单点使得
Advertisement