压缩映射原理

压缩映射原理（contraction mapping principle）又称 Banach 不动点定理（Banach fixed-point theorem）是度量空间中的一个基本定理，这个定理不要求映射的线性性质，被称为是“泛函分析中最常用、最简单的定理”。

压缩映射

设有度量空间$(X,\rho)$，称映射$T: X \to X$是一个压缩映射（contraction mapping），如果存在一个$\alpha \in (0, 1)$使得

$$\rho(Tx, Ty) \leqslant \alpha \rho(x, y), \quad \forall x, y \in X.$$

可以证明：

1. 压缩映射一定是连续映射。
2. 压缩映射自身复合多次依然是压缩映射。

定理内容

假设$T$是完备度量空间$(X,\rho)$上的一个压缩映射，那么$T$在$X$上存在唯一的不动点，即存在唯一的$x^* \in X$满足方程

$$x^* = T x^*.$$

完备性条件是必须的，否则我们可以在一个完备空间中将不动点去掉，产生的新空间中这个映射不再具有不动点。

证明

取任意初始点$x_0 \in X$，考察迭代格式

$$x_{n+1} = Tx_n.$$

我们可以得到

$$\rho (x_{n+1},x_{n})\leqslant \alpha \rho (x_{n},x_{n-1})\leqslant \cdots \leqslant \alpha ^{n}\rho (x_{1},x_{0}).$$

对任意的$n \in \N^+, p \in \N^+$都有

$${\begin{aligned}\rho (x_{n+p},x_{n})&\leqslant \sum _{i=1}^{p}\rho (x_{n+i},x_{n+i-1})\leqslant \sum _{i=1}^{p}\alpha ^{n+i-1}\rho (x_{1},x_{0})\\&\leqslant \sum _{i=1}^{\infty }\alpha ^{n+i-1}\rho (x_{1},x_{0})={\dfrac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}\rho (x_{1},x_{0}).\end{aligned}}$$

因此$n \to \infty$时，$\rho(x_{n+p}, x_n) \to 0.$故$\{ x_n \}$是 Cauchy 列，又因为$X$是完备的，那么$\{ x_n \}$是收敛的。

下面说明极限点是唯一的，若有$x_1 \ne x_2$都是$T$的不动点，那么

$$\rho (x_{1},x_{2})=\rho (Tx_{1},Tx_{2})\leqslant \alpha \rho (x_{1},x_{2}).$$

推广形式

定理中的压缩映射要求定义中的常数$\alpha$严格小于一，当其可能取等号时（即映射$T: X \to X$满足$\rho(Tx, Ty) < \rho(x, y), x \ne y$）时定理不一定成立。但是如果这个映射的值域是列紧的，那么有类似的结论成立：

设$(X,\rho)$是度量空间，$M$是$X$中的列紧集，如果映射$f: X \to M \subset X$满足

$$\forall x, y \in X, x \ne y, \quad \rho(f(x), f(y)) < \rho(x, y).$$

则$f$在$X$中有唯一不动点。

证明方法和上面类似，只不过$\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset M$故其在$X$中有收敛子列，其极限即为$T$的不动点，注意这里不需要$X$的完备性。

特别地，若取$X = \R^n$且$M$是有界闭集，那么$f$有唯一不动点。

应用

• 求方程（组）根的不动点迭代法。
• 常微分方程的解的适定性（存在唯一性）。
• 隐函数定理等。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.