卷积

卷积（convolution）是两个函数之间的一种运算，两个函数的卷积表征了它们经过翻转和平移的重叠部分的函数值乘积对重叠长度的积分。将性质不好的函数和一个性质较好的函数做卷积，其的结果可以继承性质较好的函数的特性，这在分析中是常用手段。

概念

在 Euclid 空间$\R^n$中定义的两个实或复值函数$f(x), g(x)$，如果下述积分存在

$$\int_{\R^n} f(x - y) g(y) \mathrm{d}y$$

我们就称其为$f, g$的卷积，记作$f * g$，当卷积有定义时它等于$g * f.$即具有交换性。

特别地，

1. 两个$\R^n$上的具有紧支集的连续函数的卷积存在。
2. 对在$\R^n$上$L^p$可积的函数也可定义卷积。
3. Schwartz 函数类$\mathcal{S}(\R^n)$上的函数也可定义卷积。

一般定义卷积可以推广到一个局部紧的 Hausdorff 的拓扑群$(G,\cdot)$上，其上所有开集生成的 Borel 集合系记作${\mathcal {B}}_{G}$，在这个群上存在一个 Haar 测度$\mu$因此可以引入测度空间$(G,{\mathcal {B}}_{G},\mu )$，同样其上的可测函数关于测度$\mu$的积分可以定义空间$L^{p}(G,\mu )$，进而可以定义$f,g\in L^{1}(G)$的卷积

$$f*g(x)=\int _{G}f(y)g(y^{-1}x)\mathrm {d} \mu (y)=\int _{G}f(xz)g(z^{-1})\mathrm {d} \mu (z).$$

上式是几乎处处有定义的，因为

$${\begin{aligned}&\quad ~\int _{G}\int _{G}|f(y)||g(y^{-1}x)|\mathrm {d} \mu (y)\mathrm {d} \mu (x)\\&=\int _{G}\int _{G}|f(y)||g(y^{-1}x)|\mathrm {d} \mu (x)\mathrm {d} \mu (y)\\&=\int _{G}|f(y)|\int _{G}|g(y^{-1}x)|\mathrm {d} \mu (x)\mathrm {d} \mu (y)\\&=\int _{G}|f(y)|\int _{G}|g(x)|\mathrm {d} \mu (x)\mathrm {d} \mu (y)\\&=\|f\|_{1}\|g\|_{1}<+\infty .\end{aligned}}\quad ({\text{A1}})$$

其中用到了 Fubini 定理。

基本性质

以下假设$f,g,h\in L^{1}(G,\mu )$，其中$G$是局部紧的 Hausdorff 的拓扑群，$\mu$是其上的 Haar 测度，$1 \leqslant p < +\infty$：

1. 线性性：$f * (ag + bh) = af * g + bf * h, a, b \in \R.$
2. 结合律：$(f * g) * h = f * (g * h).$
3. 分配律：$f*(g+h)=f*g+f*h,(f+g)*h=f*h+g*h.$线性性、结合律和分配律，以及#A1表明$L^{1}(G)$连带卷积构成一 Banach 代数。
4. 交换律：当$G$是交换群时$f * g = g * f.$
5. 平移性：记$(\tau _{h}^{l}f)(x)=f(hx),(\tau _{h}^{r}f)(x)=f(xh).$，那么
   1. $\tau _{h}^{l}(f*g)=(\tau _{h}^{l}f)*g.$
   2. $\tau _{h}^{r}(f*g)=f*(\tau _{h}^{r}g).$
   3. 当$\mu$$G$是交换群时有$\tau _{h}(f*g)=(\tau _{h}f)*g=f*(\tau _{h}g).$其中$(\tau _{h}f)(x)=f(hx)=f(xh).$
6. 无卷积单位元：不存在$\eta \in L^{p}(G)$使得$\forall f\in L^{p}(G),u*f=f,{\text{a.e. }}x\in G.$但是在下面我们将要介绍的广义函数的卷积中，有单位元——Dirac 测度。
7. 假设$f, g$分别有支集$A, B$，那么$f * g$具有支集$AB=\{ab:a\in A,b\in B\}.$
8. 连续性：假设$f\in L^{p}(G),{\tilde {g}}\in L^{p'}(G),{\tilde {g}}(x)=g(-x),{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{p'}}=1,1<p<+\infty$，那么对任意$\varepsilon > 0$存在$G$的单位元$e$的一个邻域$U$使得对任意的$vw^{-1}\in U$都有
   $$|(f*g)(v)-(f*g)(w)|\leqslant \|f\|_{p}\varepsilon .$$

下面追加假设$G=\mathbb {R} ^{n}$，群的乘法是向量的加法，拓扑取通常拓扑且测度是 Lebesgue 测度，测度空间上的函数均指复值函数。

1. 一致连续性：假设$f \in L^1(\R^n)$，$g$是$\R^n$上的有界可测函数，那么$f * g$是$\R^n$上的一致连续函数。
2. 共轭性质：$\overline{f * g} = \overline{f} * \overline{g}.$
3. 导数：若$f$弱可微，那么$\partial _{x_{i}}(f*g)=\partial _{x_{i}}f*g.$这个性质指出了卷积的重要分析特性：如果其中一个函数是光滑的，那么不管另一个函数是否光滑，卷积如果存在那么必然也是光滑的。
4. 不定积分：一维情形下，假设$F(t) = \int^t_{-\infty} f(\tau) \mathrm{d}\tau, G(t) = \int^t_{-\infty} g(\tau) \mathrm{d}\tau$，那么
   $$(F * g)(t) = (f * G)(t) = \int^t_{-\infty}(f * g)(\tau) \mathrm{d}\tau.$$
5. 假设$f, g \in L^1(\R^n)$，那么
   $$\int_{\R^n}(f * g)(x) \mathrm{d}x = \left(\int_{\R^n} f(x) \mathrm{d}x \right) \left(\int_{\R^n} g(x) \mathrm{d}x \right).$$

不等式

1. （Minkowski 不等式）假设$1 \leqslant p \leqslant +\infty$，$G$是局部紧的 Hausdorff 的拓扑群，$\mu$是其上的 Haar 测度，$f\in L^{p}(G),g\in L^{1}(G)$，那么$g*f\in L^{p}(G)$且
   $$\|g*f\|_{p}\leqslant \|g\|_{1}\|f\|_{p}.$$
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   （Minkowski 不等式）假设$1 \leqslant p \leqslant +\infty$，$G$是局部紧的 Hausdorff 的拓扑群，$\mu$是其上的 Haar 测度，$f\in L^{p}(G),g\in L^{1}(G)$，那么$g*f\in L^{p}(G)$且

   $$\|g*f\|_{p}\leqslant \|g\|_{1}\|f\|_{p}.$$

   关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

   $p = 1$的情形已在#A1中证明，$p = +\infty$时对几乎处处的$x \in G$

   $$\int _{G}|g(xz)||f(z^{-1})|\mathrm {d} \mu \leqslant \left(\mathop {\text{ess sup}} \limits _{z\in G}|g(z)|\right)\|f\|_{1}.$$

   下面我们假设$1 < p < +\infty$，首先

   $$|g*f(x)|\leqslant \int _{G}|g(y)||f(y^{-1}x)|\mathrm {d} \mu (z).$$

   然后关于测度$|g(y)|\mathrm {d} \mu (z)$对$x\mapsto |f(y^{-1}x)|$以及$1$用 Hölder 不等式，有

   $$\int _{G}|f(y^{-1}x)|\cdot 1|g(y)|\mathrm {d} \mu (y)\leqslant \left(\int _{G}|f(y^{-1}x)|^{p}|g(y)|\mathrm {d} \mu (y)\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{G}1^{\frac {p}{p-1}}|g(y)|\mathrm {d} \mu (y)\right)^{\frac {p-1}{p}}.$$

   于是取$L^p$范数

   $${\begin{aligned}\|f*g\|_{p}^{p}&\leqslant \int _{G}\left[\left(\int _{G}|f(y^{-1}x)|^{p}|g(y)|\mathrm {d} \mu (y)\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{G}|g(y)|\mathrm {d} \mu (y)\right)^{\frac {p-1}{p}}\right]^{p}\mathrm {d} \mu (x)\\&=\|g\|_{1}^{p-1}\int _{G}\int _{G}|f(y^{-1}x)|^{p}|g(y)|\mathrm {d} \mu (y)\mathrm {d} \mu (x)\\&=\|g\|_{1}^{p-1}\int _{G}|g(y)|\int _{G}|f(y^{-1}x)|^{p}\mathrm {d} \mu (x)\mathrm {d} \mu (y)\\&=\|g\|_{1}^{p-1}\int _{G}|g(y)|\int _{G}|f(u)|^{p}\mathrm {d} \mu (yu)\mathrm {d} \mu (y)\\&=\|g\|_{1}^{p-1}\int _{G}|g(y)|\int _{G}|f(u)|^{p}\mathrm {d} \mu (u)\mathrm {d} \mu (y)\\&=\|g\|_{1}^{p-1}\int _{G}|g(y)|\|f\|_{p}^{p}\mathrm {d} \mu (y)\\&=\|g\|_{1}^{p}\|f\|_{p}^{p}.\end{aligned}}$$

2. （Young 不等式）假设$1\leqslant p,q,r\leqslant +\infty ,{\dfrac {1}{q}}+1={\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{r}}$，$G$是局部紧的 Hausdorff 的拓扑群，$\mu$是其上的 Haar 测度，$f\in L^{p}(G),g\in L^{r}(G)$且$\|g\|_{r}=\|g(-\cdot )\|_{r}$，那么$f*g\in L^{q}(G)$且

   $$\|f*g\|_{q}\leqslant \|g\|_{r}\|f\|_{p}.$$

3. （弱空间的 Young 不等式）假设$1\leqslant p<+\infty ,1<q,r<+\infty ,{\dfrac {1}{q}}+1={\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{r}}$，$G$是局部紧的 Hausdorff 的拓扑群，$\mu$是其上的 Haar 测度，$f\in L^{p}(G),g\in L^{r,w}(G)$且$\|g\|_{r}=\|g(-\cdot )\|_{r}$，那么$f*g\in L^{q,w}(G)$且
   $$\|f*g\|_{q,w}\leqslant C_{p,q,r}\|g\|_{r,w}\|f\|_{p}.$$

展缩性质

这种想法的出现在于：$L^{1}(G)$中没有关于卷积的单位元$i$，因此涉及到一些直观上需要卷积单位元的问题时我们要构造一列可能的函数列$\{f_{\varepsilon }\}$，使得当$\varepsilon \to 0$时在某种度量、拟度量或伪度量的意义下趋近$f*i$（即$f$本身）。

参见恒等逼近。

广义函数

我们同样可以定义广义函数的卷积，假设$f$是 Schwartz 函数，$g$是缓增分布，那么可以定义$f * g$是如下确定的缓增分布：

$$\langle g*f,h\rangle =\langle g,f*h\rangle .$$

参考资料

1. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.