单叶双曲面

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在这里你将了解到有关空间曲面曲线以及空间变换的相关知识，希望你能收获更多！

单叶双曲面（Univalent hyperboloid），是二次曲面的第Ⅰ类曲面的一种。

标准方程

单叶双曲面的标准方程是 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1$ 其中， $a, b, c > 0$ 是该单叶双曲面的轴参数。

性质

以下均在单叶双曲面的标准方程中讨论。

对称性：单叶双曲面是中心二次曲面，它的对称中心是原点 $(0, 0, 0)^\text{T}$ ，对称直线是三个坐标轴，对称平面是三个坐标平面。
有界性：单叶双曲面整体位于一个圆柱面 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 外或面上。
截面：平行于 $xOy$ 平面截单叶双曲面所得的曲线是椭圆，平行于 $yOz, xOz$ 平面截单叶双曲面所得的曲线是双曲线。
直母线：单叶双曲面是双重直纹面，两族直母线方程是
${\displaystyle \begin{cases} \cos{\theta} \left(\dfrac{x}{a} - \dfrac{z}{c}\right) = \sin{\theta} \left(1 + \dfrac{y}{b}\right), \\ \sin{\theta} \left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{z}{c}\right) = \cos{\theta} \left(1 - \dfrac{y}{b}\right). \end{cases} \qquad \begin{cases} \cos{\theta} \left(\dfrac{x}{a} - \dfrac{z}{c}\right) = \sin{\theta} \left(1 - \dfrac{y}{b}\right), \\ \sin{\theta} \left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{z}{c}\right) = \cos{\theta} \left(1 + \dfrac{y}{b}\right). \end{cases}}$
特殊参数化形式：单叶双曲面拥有如下反映其直纹性质的参数化： ${\begin{aligned}{\boldsymbol {r}}(u,v)&=(a(\cos u-v\sin u),b(\sin u+v\cos u),cv)\\&=(a\cos u,b\sin u,0)+v(-a\sin u,b\cos u,c).\end{aligned}}\quad u\in (-\pi ,\pi ],v\in \mathbb {R} .$

方程特点

二次曲面的一般方程是 $F(x, y, z) = a_{11} x^2 + a_{22} y^2 + a_{33} z^2 + 2a_{12} xy + 2a_{13} xz + 2a_{23} yz + 2a_1 x + 2a_2 y + 2a_3 z + a_0 = 0$ 其中 $a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{13}, a_{23}$ 不全为零。当它是单叶双曲面时有 $I_2 \leqslant 0,\quad I_4 > 0.$

特征根：单叶双曲面的特征根的符号差为1，标准方程下的特征根是 $\dfrac{1}{a^2}, \dfrac{1}{b^2}, -\dfrac{1}{c^2}$ ；
主方向：单叶双曲面的三个主方向都是非奇异的，标准方程下的主方向是三个坐标轴；
渐近方向：单叶双曲面的渐近方向位于一个二次锥面 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 0$ 上，这个锥面称为该单叶双曲面的渐近锥面；
中心： $r = R = 3$ ，单叶双曲面是中心二次曲面，标准方程下的中心是原点；
主径面：单叶双曲面有三个主径面，标准方程下的主径面是三个坐标平面。

旋转单叶双曲面

旋转单叶双曲面是一种旋转面，也是单叶双曲面，它是由双曲线 $\begin{cases} \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \\ z = 0 \end{cases}$ 绕 $y$ 轴旋转所得的，标准方程是 $\dfrac{x^2+z^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1.$

它有一个几何意义：两条不垂直的异面直线，其中一条绕另一条旋转所得的旋转面就是旋转单叶双曲面。

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