單位分解定理

單位分解定理（theorem of the partition of unity）是現代分析數學的一個重要定理。在將局部成立的定理推廣到整體情形時可能會使用到該技巧。

單位分解

假設$X$是拓撲空間且$E$是$X$的子空間，如果$\{h_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\subset C(X,[0,1])$如果滿足

1. 對每個$x \in X$都存在一個$x$的鄰域$V$使得只有有限個$h_{\lambda }$在$V$上非零。
2. 對每個$x \in E$都有$\sum _{\lambda \in \Lambda }h_{\lambda }=1.$

我們就稱$\{h_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }$是$E$上的一個單位分解。

如果$\{h_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }$是$E$上的一個單位分解，$\mathcal U$是$E$的一個開覆蓋，且對每個$\lambda \in \Lambda$存在$U\subset {\mathcal {U}}$使得${\text{supp}}(h_{\lambda })\subset U$，我們就稱單位分解$\{h_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }$是從屬於（is subordinate to）$\mathcal U$的。

內容

假設$X$是局部緊的 Hausdorff 空間，$K \subset X$是 σ緊的，$\mathcal U$是$K$的一族開覆蓋，那麼存在從屬於$\mathcal U$的$K$的單位分解$\{h_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }$，且每個$h_{\lambda }$都是具有緊支集的函數。特別地，當$K$是緊集時，開覆蓋$\mathcal{O} = \{ O_k \}_{k=1}^n$是有限覆蓋，如果$X = \R^n$，上述函數還可以做到光滑。

參考資料

1. Gerald B. Folland, Real Analysis(2nd Ed.), Wiley, 1999-04, ISBN 978-0-4713-1716-6.