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单位分解定理(theorem of the partition of unity)是现代分析数学的一个重要定理。在将局部成立的定理推广到整体情形时可能会使用到该技巧。

单位分解[]

假设拓扑空间子空间,如果如果满足

  1. 对每个都存在一个的邻域使得只有有限个上非零。
  2. 对每个都有

我们就称上的一个单位分解。

如果上的一个单位分解,的一个开覆盖,且对每个存在使得,我们就称单位分解是从属于(is subordinate to)的。

内容[]

假设是局部紧的 Hausdorff 空间是 σ紧的,的一族开覆盖,那么存在从属于的单位分解,且每个都是具有紧支集的函数。特别地,当紧集时,开覆盖有限覆盖,如果,上述函数还可以做到光滑。

参考资料[]

  1. Gerald B. Folland, Real Analysis(2nd Ed.), Wiley, 1999-04, ISBN 978-0-4713-1716-6.
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