单位元

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单位元又称幺元。

• 若 $\exists e_l \in \mathbf{S}, \forall x \in \mathbf{S}, e_l \circ x = x$，称 $e_l$ 为运算 $\circ$ 的左单位元；
• 若 $\exists e_r \in \mathbf{S}, \forall x \in \mathbf{S}, x \circ e_r = x$，称 $e_r$ 为运算 $\circ$ 的右单位元；
• 当 $e_l = e_r$ 时，称其为运算 $\circ$ 的单位元，可见一个运算有单位元还可表述为该运算满足交换律且存在左（或右）单位元。

单位元的唯一性定理：

设 $\circ$ 为 $\mathbf{S}$ 上的二元运算，$e_l$ 和 $e_r$ 分别为 $\mathbf{S}$ 中关于运算 $\circ$ 的左单位元和右单位元，则$e_l = e_r = e$为 $\mathbf{S}$ 中关于运算 $\circ$ 的唯一单位元。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

$\because e_l = e_l \circ e_r = e_r$

$\therefore e_l = e_r$ 将这个单位元记为$e.$假设$e'$也是$\circ$的一个单位元，则有
$e' = e' \circ e = e.$

唯一性得证。